Question

（2012•黃岡二模）如圖，矩形木板ABCD中，長AB=a米，寬BC=b米，要從矩形木板 ABCD上裁下兩個相同的半圓面，有如下兩種裁法；如圖①，點O₁、O₂在AC上，⊙O₁與⊙O₂分別與矩形ABCD兩邊相切；如圖②，點O₁，O₂分別在AB，CD上，⊙O₁與⊙O₂相切，⊙O₁，⊙O₂分別與AD，BC相切．
（1）求圖①中半圓的半徑r的長（用a，b的代數式表示）；
（2）求圖②中半圓的半徑R的長（用a，b的代數式表示）；
（3）如果用長2米，寬1米和長3米，寬1米的兩塊矩形木板各做一個圓桌面，每塊木板都有上述兩種裁法．請問，對這兩塊木板分別應當采用哪一種裁法，做出的圓桌面較大．

Answer 1

分析：（1）連接O₁E，O₁F，則四邊形DEO₁F是正方形，設圓的半徑是r，則O₁E=O₁F=r，則

O1E

AD

=

O2C

AC

，

r

CD

=

AO1

AC

，兩式相加即可得到一個關于r的方程，從而求解；
（2）連接O₁O₂，作O₂F⊥AB于點F，設圓的半徑是R，則O₂C=BF=R，在直角△O₁O₂F中，利用勾股定理即可得到關于R的方程，從而求解；
（3）把長寬的值，分別代入（1）和（2）求得的代數式，求值，然后比較即可．

解答：解：（1）連接O₁E，O₁F，則四邊形DEO₁F是正方形，設圓的半徑是r，則O₁E=O₁F=r．
∵O₁F∥AD，
∴

O1E

AD

=

O2C

AC

，即

r

AD

=

O2C

AC

，
同理，

r

CD

=

AO1

AC

，
兩式相加得：

r

AD

+

r

CD

=1，即

r

b

+

r

a

=1，解得：r=

ab

a+b

；

（2）連接O₁O₂，作O₂F⊥AB于點F，設圓的半徑是R，則O₂C=BF=R，
在直角△O₁O₂F中，O₁O₂²=O₂F²+O₁F²，則（2R）²=b²+（a-2R）²，
解得：R=

a2+b2

4a

；

（3）當長2米，寬1米時，利用第一種作法，半徑是：

ab

a+b

=

2×1

2+1

=

2

3

米，利用第二種所得半徑是：

22+12

2×2

=

5

4

米，
故采用第二種方法，做出的圓桌面較大；
長3米，寬1米，利用第一種作法，半徑是：

ab

a+b

=

3×1

3+1

=

3

4

米，利用第二種所得半徑是：

32+12

2×3

=

5

3

米．
故采用第二種方法，做出的圓桌面較大．

點評：本題考查了平分線分線段成比例定理，勾股定理的綜合應用，利用了方程的思想．