Question

證明以下各式：
（1）若abc=1，則

1

ab+a+1

+

1

bc+b+1

+

1

ac+c+1

=1
（2）若a+b+c=0，則

1

a2+b2-c2

+

1

b2+c2-a2

+

1

c2+a2-b2

=0
（3）已知：

x

a

+

y

b

+

z

c

=1且

a

x

+

b

y

+

c

z

=0，求證：

x2

a2

+

y2

b2

+

z2

c2

=1
（4）若：x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by．求證：

a

1+a

+

b

1+b

+

c

1+c

=1．

Answer 1

分析：（1）由于abc=1，可以把題目中的第一個分式的1分子變為abc，或者把分子中的ac乘以b變為1，最后就可以變為同分母的分式加減，由此即可求解；
（2）由于a+b+c=0，由此得到a=-（b+c），b=-（a+c），c=-（a+b），然后分別代入題目中的分母中，接著利用完全平方公式分解即可求解；
（3）首先把

x

a

+

y

b

+

z

c

=1兩邊平方，然后把

a

x

+

b

y

+

c

z

=0變為

ayz+bxz+cxy

xyz

=0，然后分別代入所證明的等式的左邊，由此即可解決問題；
（4）首先聯立已知等式組成方程組，解方程組可以分別得到（x+y+z）=2ax+2by+2cz，y+z-x=2ax，x+z-y=2by，x+y-z=2cz；
接著得到x+y+z=2（1+a）x=2（1+b）y=2（1+c）z，由此即可證明題目的問題．

解答：（1）證法1：
∵abc=1
∴左邊=

abc

ab+a+abc

+

1

bc+b+1

+

1

ac+c+1

= bc b+1+bc + 1 bc+b+1 + abc ac+c+abc = 1+bc 1+b+bc + ab a+1+ab = 1+bc 1+b+bc + ab a+abc+ab = 1+bc 1+b+bc + b 1+bc+b =1

=右邊
所以等式成立．
證法2：
∵abc=1
∴c=

1

ab

，ac=

1

b

，bc=

1

a

∴左邊=

1

ab+a+1

+

1

bc+b+c

+

1

ac+c+1

= 1 ab+a+1 + 1 1 a +b+1 + 1 1 b + 1 ab +1 = 1 ab+a+1 + a 1+ab+a + ab a+1+ab = 1+a+ab 1+a+ab =1

=右邊
等式成立．
（2）∵a+b+c=0
∴a=-（b+c），b=-（a+c），c=-（a+b）
∴原式左邊=

1

b2+a2-c2

+

1

b2+c2-a2

+

1

c2+a2-b2

= 1 (b2+a2)-(a+b)2 + 1 (b2+c2)-(b+c)2 + 1 c2+a2-(a+c)2 =- 1 2bc - 1 2ac - 1 2ab =- a+b+c 2abc =0

=右邊即等式成立．
（3）∵

x

a

+

y

b

+

z

c

=1…(1)
∵(1)2得：(

x

a

+

y

b

+

z

c

)2=1；
又∵

a

x

+

b

y

+

c

z

=0…(2)
∴由（2）式得：

ayz+bxz+cxy

xyz

=0
∴等式左邊=(

x

a

+

y

b

+

z

c

)2-2(

xy

ab

+

xz

ac

+

yz

bc

)=1-2•

cxy+bxz+ayz

abc

=1=右邊所以等式成立．
（4）∵

x=by+cz…(1) y=cz+ax…(2) z=ax+by…(3)

由（1）+（2）×（3）得：（x+y+z）=2ax+2by+2cz（4）
由（4）-（1）×2得：y+z-x=2ax；
由（4）-（2）×2得：x+z-y=2by；
由（4）-（2）×2得：x+y-z=2cz；
∴x+y+z=2（1+a）x=2（1+b）y=2（1+c）z
令x+y+z≠0，
∴（1+a）x≠0，（1+b）y≠0，（1+c）z≠0．
∴

1

1+a

=

2x

x+y+z

∴a=

y+z-x

2x

∴

a

1+a

=

y+z-x

x+y+z

，
同理：

b

1+b

=

x+z-y

x+y+z

，

c

1+c

=

x+y-z

x+y+z

∴

1

1+a

+

b

1+b

+

c

1+c

=

y+z-x+x+z-y+x+y-z

x+y+z

=1

點評：此題主要考查了由分式等式向整式等式轉化的方法，因式分解在整式變形中的作用．幾個因式的積為0，這幾個因式中至少有一個為0．