Question

證明以下各式：
（1）

2a-b-c

a2-ab-ac+bc

+

2b-c-a

b2-bc-ab-ac

+

2c-a-b

c2-ca-bc+ab

=0；
（2）x，y，z是互不相等的三個實數則：(

1

x-y

)2+(

1

y-z

)2+(

1

z-x

)2=(

1

x-y

+

1

y-z

+

1

z-x

)2

Answer 1

分析：（1）將

2a-b-c

a2-ab-ac+bc

分解為

(a-b)+(a-c)

(a-b)(a-c)

，將

2b-c-a

b2-bc-ab-ac

分解為

(b-c)+(b-a)

(b-c)(b-a)

，將

2c-a-b

c2-ca-bc+ab

分解為

(c-a)+(c-b)

(c-a)(c-b)

，進而得出原式左右相等；
（2）將左右兩式進行相減，去括號整理后再進行提取公因式，得出它們的差是0，從而得出原命題正確．

解答：證明：
（1）
∵原式等式左邊=

(a-b)+(a-c)

(a-b)(a-c)

+

(b-c)+(b-a)

(b-c)(b-a)

+

(c-a)+(c-b)

(c-a)(c-b)

= 1 a-c + 1 a-b + 1 b-a + 1 b-c + 1 c-b + 1 c-a =0=右邊

所以等式成立
（2）左邊-右邊=(

1

x-y

+

1

y-z

+

1

z-x

)2-(

1

x-y

)2-(

1

y-z

)2-(

1

z-x

)2

= 2 (x-y)(y-z) + 2 (y-z)(z-x) + 2 (x-y)(z-x) =2[ 1 y-z ( 1 x-y + 1 z-x )+ 1 (x-y)(z-x) ] =2[- 1 (x-y)(z-x) + 1 (x-y)(z-x) ] =0

所以等式成立

點評：此題主要考查了分式的綜合運算，運用因式分解法得出式子之間的特殊關系，是解決問題的關鍵．