Question

【題目】如圖，以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經過A，B兩點，且與BC邊交于點E，D為BE的下半圓弧的中點，連接AD交BC于F，AC=FC．

（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）已知圓的半徑R=5，EF=3，求DF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結OA、OD，如圖，

∵D為BE的下半圓弧的中點，

∴OD⊥BE，

∴∠D+∠DFO=90°，

∵AC=FC，

∴∠CAF=∠CFA，

∵∠CFA=∠DFO，

∴∠CAF=∠DFO，

而OA=OD，

∴∠OAD=∠ODF，

∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，

∴OA⊥AC，

∴AC是⊙O的切線

（2）解：∵圓的半徑R=5，EF=3，

∴OF=2，

在Rt△ODF中，∵OD=5，OF=2，

∴DF= = ．

【解析】（1）根據弧的性質，D為BE的下半圓弧的中點，得到OD⊥BE，∠D+∠DFO=90°，又AC=FC，得到∠CAF=∠CFA，因為∠CFA=∠DFO，得到∠CAF=∠DFO，而OA=OD，得到∠OAD=∠ODF，∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，所以OA⊥AC，由切線的判定方法得到AC是⊙O的切線；（2）由圓的半徑R=5，得到OF=2，在Rt△ODF中，由勾股定理求出DF的長．
【考點精析】認真審題，首先需要了解切線的判定定理(切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線)．