Question

【題目】如圖，△ABC和△ADE是兩個不全等的等腰直角三角形，其中點B與點D是直角頂點，現固定△ABC，而將△ADE繞點A在平面內旋轉．

（1）如圖1，當點D在CA延長線上時，點M為EC的中點，求證：△DMB是等腰三角形．

（2）如圖2，當點E在CA延長線上時，M是EC上一點，若△DMB是等腰直角三角形，∠DMB為直角，求證：點M是EC的中點．

（3）如圖3，當△ADE繞點A旋轉任意角度時，線段EC上是否都存在點M，使△BMD為等腰直角三角形，若不存在，請舉出反例；若存在，請予以證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）線段EC上都存在中點M，使△BMD為等腰直角三角形，理由見解析

【解析】

（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出BM＝DM＝EC，即可得出答案；

（2）根據AAS證明△DFM≌∠MGB，得FM＝BG，DF＝MG，根據線段的和表示EM和MC，可得結論；

（3）線段EC上都存在中點M，使△BMD為等腰直角三角形，作輔助線，構建全等三角形，證明△DFM≌∠MGB（SAS），得BM＝DM，∠FMD＝∠GBM，再證明∠DMB＝90°，可得結論．

(1)如圖1，∵∠EDC=90°，點M為EC的中點，

∴DM=EC．

同理可得：BM=EC．

∴DM=BM，

∴△DMB是等腰三角形；

(2)過點D作DF⊥EA，過點B作BG⊥AC，

∵△ABC和△ADE是兩個等腰直角三角形，

∴BG=GC=AG，DF=EF=FA，

∴∠DFM=∠BGM=90°，

∴∠FDM+∠DMF=90°，

∵△DMB是等腰直角三角形，

∴DM=BM，∠DMB=90°，

∴∠BMG+∠DMF=90°，

∴∠FDM=∠BMG，

∴△DFM≌∠MGB(AAS)，

∴FM=BG，DF=MG，

∵BG=GC，DF=EF，

∴FM=GC，MG=EF，

∵EM=EF+FM，MC=MG+GC，

∴EM=MC，

∴點M是EC的中點；

(3)線段EC上都存在中點M，使△BMD為等腰直角三角形，

理由是：取AE中點F，AC中點G，連接FD，FM，BG，GM，

∵點M是EC的中點，點G是AC的中點，

∴GM=AE，GM∥AE，BG⊥AC，∠BGC=90，

∵F是AE中點，

∴AF=AE，DF⊥AE，∠DFE=90，

∴AF∥GM，AF=GM，

∴四邊形AFMG是平行四邊形，

∴∠AFM=∠AGM，

∴∠EFM=∠MGC．

∵∠DFM=∠EFM+∠DFE=∠EFM+90，

∠BGM=∠MGC+∠BGC=∠MGC+90，

∴∠DFM=∠BGM，

∵GM=AF=DF，

∴DF=GM，

同理可得 BG=FM，

∴△DFM≌∠MGB(SAS)，

∴BM=DM，∠FMD=∠GBM，

∵FM∥AC，

∴∠FMG=∠CGM，

∴∠DMB=∠FMD+∠FMG+∠GMB，

=∠GBM+∠CGM+∠GMB，

=180°﹣∠BGC，

=90°，

∴△BMD是等腰直角三角形．