Question

【題目】如圖，點P是反比例函數y= （k＜0）圖象上的點，PA垂直x軸于點A（﹣1，0），點C的坐標為（1，0），PC交y軸于點B，連結AB，已知AB= ．

（1）k的值是；
（2）若M（a，b）是該反比例函數圖象上的點，且滿足∠MBA＜∠ABC，則a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】
（1）-4
（2）0＜a＜2或 ＜a＜
【解析】解：（1.）如圖，

PA垂直x軸于點A（﹣1，0），
∴OA=1，可設P（﹣1，t）．
又∵AB= ，
∴OB= = =2，
∴B（0，2）．
又∵點C的坐標為（1，0），
∴直線BC的解析式是：y=﹣2x+2．
∵點P在直線BC上，
∴t=2+2=4
∴點P的坐標是（﹣1，4），
∴k=﹣4．
所以答案是：﹣4；
解法二：用相似三角形
由題意易得△CPA～CBO，
∴
∴
∴AP=4，
∴k=﹣4．
（2.）分類討論
①如圖1，延長線段BC交雙曲線于點M．

由（1）知，直線BC的解析式是y=﹣2x+2，反比例函數的解析式是y=﹣ ．
則 ，
解得， 或 （不合題意，舍去）．
根據圖示知，當0＜a＜2時，∠MBA＜∠ABC；
②如圖，作C關于直線AB的對稱點C′，連接BC′并延長交雙曲線于點M′．

∵A（﹣1，0），B（0，2），
∴直線AB的解析式為：y=2x+2．
直線CC′是與直線AB垂直的，
根據兩條直線垂直，兩直線的斜率互為負倒數，即：k1k2=﹣1
可設CC′解析式為：y=﹣ x+b，
∵C（1，0），
∴b= ，
∴CC′解析式為：y=﹣ x+ ，
∵AC=AC′=2，
∴設C′點橫坐標為：x，則縱坐標為：﹣ x+ ，
∴（﹣x﹣AO）2+（﹣ x+ ）2=（AC′）2 ，
解得：x1=﹣ ，x2=1（不合題意舍去），
∴C′（﹣ ， ），則易求直線BC′的解析式為：y= x+2，
∴ ，
解得：x1= ，x2= ，
則根據圖示知，當 ＜a＜ 時，∠MBA＜∠ABC．
綜合①②知，當0＜a＜2或 ＜a＜ 時，∠MBA＜∠ABC．
故答案是：0＜a＜2或 ＜a＜ ．
【考點精析】利用反比例函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大．