Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A坐標為（2，4），直線x=2與x軸相交于點B，連結OA，二次函數y=x2圖象從點O沿OA方向平移，與直線x=2交于點P，頂點M到A點時停止移動．

（1）求線段OA所在直線的函數解析式；

（2）設二次函數頂點M的橫坐標為m，當m為何值時，線段PB最短，并求出二次函數的表達式；

（3）當線段PB最短時，二次函數的圖象是否過點Q（a，a﹣1），并說理由．

Answer 1

【答案】（1）y=2x；（2）y=（x﹣1）2+2；（3）二次函數的圖象不過點Q．

【解析】

試題分析：（1）根據待定系數法求得即可；

（2）根據題意得到頂點M（m，2m），根據平移的性質和頂點坐標得到拋物線的解析式為y=（x﹣m）2+2m，把x=2代入解析式求得P的縱坐標，即可求得PB=m2﹣2m+4=（m﹣1）2+3（0≤m≤2），根據二次函數的性質得出當m=1時，PB最短，即可求得當PB最短時，拋物線的解析式為y=（x﹣1）2+2；

（3）若二次函數的圖象是過點Q（a，a﹣1），代入解析式得到方程a﹣1=（a﹣1）2+2，由于△＜0，此方程無解，說明此二次函數的圖象不過點Q．

解：（1）設直線OA的解析式為y=kx，

∵A（2，4），

∴2k=4，解得k=2，

∴線段OA所在直線的函數解析式為y=2x；

（2）∵頂點M的橫坐標為m，且在OA上移動，

∴y=2m（0≤m≤2），

∴M（m，2m），

∴拋物線的解析式為y=（x﹣m）2+2m，

∴當x=2時，y=（2﹣m）2+2m=m2﹣2m+4（0≤m≤2），

∴PB=m2﹣2m+4=（m﹣1）2+3（0≤m≤2），

∴當m=1時，PB最短，

當PB最短時，拋物線的解析式為y=（x﹣1）2+2；

（3）若二次函數的圖象是過點Q（a，a﹣1）

則方程a﹣1=（a﹣1）2+2有解．

即方程a2﹣3a+4=0有解，

∵△=（﹣3）2﹣4×1×4=﹣7＜0．

∴二次函數的圖象不過點Q．