Question

【題目】拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經過點A（﹣1，0），B（，0），且與y軸相交于點C．

（1）求這條拋物線的表達式；

（2）求∠ACB的度數；

（3）設點D是所求拋物線第一象限上一點，且在對稱軸的右側，點E在線段AC上，且DE⊥AC，當△DCE與△AOC相似時，求點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣2x2+x+3；（2）∠ACB=45°；（3）D（， ）．

【解析】試題分析: （1）把點A、B、C的坐標分別代入已知拋物線的解析式列出關于系數的三元一次方程組

9a3b+c＝0 a+b+c＝0 4a2b+c＝1

，通過解該方程組即可求得系數的值；
（2）由（1）中的拋物線解析式易求點M的坐標為（0，1）．所以利用待定系數法即可求得直線AM的關系式為y=

1

3

x+1．由題意設點D的坐標為（x0，

1

3

x02

2

3

x0+1），則點F的坐標為（x0，

1

3

x0+1）．易求DF=

1

3

x02

2

3

x0+1(

1

3

x0+1)=

1

3

x02x0＝

1

3

(x0+

3

2

)2+

3

4

．根據二次函數最值的求法來求線段DF的最大值；
（3）需要對點P的位置進行分類討論：點P分別位于第一、二、三、四象限四種情況．此題主要利用相似三角形的對應邊成比例進行解答．

試題解析: 由題意可知

9a3b+c＝0 a+b+c＝0 4a2b+c＝1

．解得

a＝ 1 3 b＝ 2 3 c＝1

．
∴拋物線的表達式為y=-

1

3

x2

2

3

x+1．

（2）將x=0代入拋物線表達式，得y=1．∴點M的坐標為（0，1）．
設直線MA的表達式為y=kx+b，則

b＝1 3k+b＝0

．
解得