Question

【題目】直線與x軸、y軸分別交于點B、C，拋物線經過點B、C，并與x軸交于另一點A．

（1）求此拋物線及直線AC的函數表達式；

（2）垂直于y軸的直線l與拋物線交于點P（，），Q（，），與直線BC交于點，N（，），若＜＜，結合函數的圖象，求的取值范圍；

（3）經過點D（0，1）的直線m與射線AC、射線OB分別交于點M、N．當直線m繞點D旋轉時， 是否為定值，若是，求出這個值，若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）=； ；（2）1＜＜2；（3）為定值3．

【解析】（1）先求得直線y=-x+3與x軸、y軸的交點B、C的坐標，代入入求得a、k的值，即可得拋物線的函數表達式；令y=0，求得點A的坐標，再用待定系數法求得直線AC的函數表達式即可；（2）根據題意可得y1=y2，即可得x1+x2=2；當直線l1經過點C時，x1=x3=0，x2=2，此時x1+x3+x2=2，當直線l2經過頂點（1，4）時，直線BC的解析式為，y=4時，x=﹣1, 此時，x1=x2=1，x3=﹣1，此時x1+x3+x2=1;當直線l在直線l1與直線l2之間時，x3＜x1＜x2，即可得1<<2；（3）為定值3，設直線MN的解析式為y=kx+1．把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=，所以點N的坐標為（，0）．所以AN=+1=即可得=;將y=3x+3與y=kx+1聯立解得：x=．求得點M的橫坐標為． 過點M作MG⊥x軸，垂足為G．則AG==．再由△MAG∽△CAO,根據相似三角形的性質可得,,==，由此可得=+==3.

（1）∵直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點B、C，

∴B(3，0)，C（0，3）；

把B(3，0)，C（0，3）代入得，

，

解得 ，

∴拋物線函數表達式為=；

令y=0，可得=0，解得x1=-1，x2=3；

∴A（-1，0）；

設AC的解析式為y=kx+b，

，

解得，

∴直線AC的函數表達式為；

（2）∵y1=y2，∴x1+x2=2．

當直線l1經過點C時，x1=x3=0，x2=2，此時x1+x3+x2=2，

當直線l2經過頂點（1，4）時，直線BC的解析式為，y=4時，x=﹣1, 此時，x1=x2=1，x3=﹣1，此時x1+x3+x2=1;當直線l在直線l1與直線l2之間時，x3＜x1＜x2 ,

∴1<<2．

(3)為定值3．

理由如下：設直線MN的解析式為y=kx+1．把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=，

∴點N的坐標為（，0）．∴AN=+1=,=;

將y=3x+3與y=kx+1聯立解得：x=．∴點M的橫坐標為．

過點M作MG⊥x軸，垂足為G．則AG==．

∵△MAG∽△CAO,∴,

∴,==

∴=+==3.