Question

【題目】如圖，在△ABC 中，點P是AC邊上的一點，過點P作與BC平行的直線PQ，交AB于點Q，點D在線段 BC上，聯接AD交線段PQ于點E，且 = ，點G在BC延長線上，∠ACG的平分線交直線PQ于點F．
（1）求證：PC=PE；
（2）當P是邊AC的中點時，求證：四邊形AECF是矩形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PQ∥BC，

∴△AQE∽△ABD，△AEP∽△ADC，

∴ = ， ，

∴ = ，

∵ = ，

∴ = ，

∴PC=PE；

（2）解：∵PF∥DG，

∴∠PFC=∠FCG，

∵CF平分∠PCG，

∴∠PCF=∠FCG，

∴∠PFC=∠FCG，

∴PF=PC，

∴PF=PE，

∵P是邊AC的中點，

∴AP=CP，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵PQ∥CD，

∴∠PEC=∠DCE，

∴∠PCE=∠DCE，

∴∠PCE+∠PCF= （∠PCD+∠PCG）=90°，

∴∠ECF=90°，

∴平行四邊形AECF是矩形．

【解析】（1）根據相似三角形的性質得到 = ， ，等量代換得到 = ，推出 = ，于是得到結論；（2）根據平行線的性質得到∠PFC=∠FCG，根據角平分線的性質得到∠PCF=∠FCG，等量代換得到∠PFC=∠FCG，根據等腰三角形的性質得到PF=PC，得到PF=PE，由已知條件得到AP=CP，推出四邊形AECF是平行四邊形，于是得到結論．
【考點精析】關于本題考查的矩形的判定方法和相似三角形的判定與性質，需要了解有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．