Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC與BD交于點O，M、N分別為OB、OC的中點，又∠ACB=∠DBC．
（1）求證：AB=CD；
（2）若AD=

1

2

BC、求證：四邊形ADNM為矩形．

Answer 1

分析：（1）要證AB=CD，由等腰梯形的判定定理知，可證AC=BD，由題意知∠ACB=∠DBC，得OB=OC，AD∥BC，得OA=OD，即可得證．
（2）要證四邊形ADNM為矩形，只需證其對角線相等且相互平分，然后利用平行線分線段成比例定理進行證明．

解答：證明：（1）∵∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC，（2分）
∵AD∥BC，
∴

OA

OC

=

OD

OB

，即OA=OD（2分）
∴AC=BD，（1分）
∴梯形ABCD為等腰梯形，即AB=CD；（1分）

（2）∵M、N分別為OB、OC的中點，
∴MN∥BC，MN=

1

2

BC，
∵AD=

1

2

BC，AD∥BC，
∴MN∥AD，MN=AD，
∴四邊形AMND是平行四邊形，
∴ON=OA，MO=DO，
又OA=OD，（2分）
∴ON=OA=MO=DO，
∴四邊形ADNM為矩形．（1分）

點評：命題意圖：
①檢驗學生對等腰梯形判定方法的掌握情況．
②將等腰梯形問題與矩形相結合，在考核學生梯形知識的同時又考查了矩形有關性質．
③學生在證明四邊形為等腰梯形時，常直接找所需條件：同一底上的兩底角相等或兩條腰相等，而常忽略-關鍵要素：已經證明該四邊形為梯形了嗎，故需同學們多加注意．