Question

【題目】如圖，二次函數的圖像與x軸交于點A(-1,0)、B（3，0），與y軸交于點C（0，3）.

（1）求二次函數的表達式；

（2）設上述拋物線的對稱軸l與x軸交于點D，過點C作CE⊥l于E，P為線段DE上一點，Q(m，0)為x軸負半軸上一點，以P、Q、D為頂點的三角形與△CPE相似；

①當滿足條件的點有且只有三個時，求的取值范圍；

②若滿足條件的點有且只有兩個，直接寫出的值.

Answer 1

【答案】(1)y=-x2+2x+3；（2）且；（3）-1或-.

【解析】試題分析：（1）將二次函數解析式設為一般式，將三個點的坐標帶入解析式，求出未知參數即可；（2）①設PD=x（0＜x＜3），則PE=3－x，以P、Q、D為頂點的三角形與△CPE相似一共有兩種情況，△CPE∽△QPD以及△CPE∽△PQD，當△CPE∽△QPD時， ，即，由此可得一個關于x的一元一次方程，根據m的范圍分析得出方程有解；當△CPE∽△PQD，則，即，整理可得一個關于x的一元二次方程，由于滿足條件的點有且只有三個，故此一元二次方程必有兩個不相等的實數根，即b2－4ac＞0，求出m的范圍；此外還需考慮當1－m=x時，三解中有兩解相同，將x=1－m代入，求出x，再求出對應的m不能取的數值；綜上，寫出m的范圍；②由第①問直接寫出m的取值即可.

試題解析：

解：（1）將A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c中，得：

，解得，

∴二次函數的表達式為y=－x2+2x+3；

（2）①拋物線對稱軸為x=1，

設PD=x（0＜x＜3），則PE=3－x.

若△CPE∽△QPD，則，即，

整理得：（2－m）x=3－3m，

∵m＜0，∴x==3－≠0是方程的根；

若△CPE∽△PQD，則，即，

即x2－3x+1－m=0，

由題意得：b2－4ac＞0，即（－3）2－4（1－m）＞0，解得m＞－，

當1－m=x時，三解中有兩解相同，將x=1－m代入，

解得x1=0（舍），x2=2，

代入得m=－1，故排除m=－1.

所以m的范圍是－＜m＜0，且m≠－1.

②m的值為－1或－.