Question

【題目】（1）證明推斷：如圖（1），在正方形ABCD中，點E，Q分別在邊BC，AB上，DQ⊥AE于點O，點G，F分別在邊CD，AB上，GF⊥AE．

①求證：DQ＝AE；

②推斷：的值為　 　；

（2）類比探究：如圖（2），在矩形ABCD中，＝k（k為常數）．將矩形ABCD沿GF折疊，使點A落在BC邊上的點E處，得到四邊形FEPG，EP交CD于點H，連接AE交GF于點O．試探究GF與AE之間的數量關系，并說明理由；

（3）拓展應用：在（2）的條件下，連接CP，當k＝時，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的長．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②1；（2）＝k，見解析；（3）PC＝．

【解析】

(1)①由正方形的性質得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAQ．所以∠QAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠QAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAQ，可得AE=DQ．
②證明四邊形DQFG是平行四邊形即可解決問題．
(2)結論：．如圖2中，作GM⊥AB于M．證明△ABE∽△GMF即可解決問題．
(3)如圖2中，作PM⊥BC交BC的延長線于M．利用相似三角形的性質求出PM，CM即可解決問題．

(1)①證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAQ．

∴∠QAO+∠OAD=90°．

∵AE⊥DQ，

∴∠ADO+∠OAD=90°．

∴∠QAO=∠ADO．

∴△ABE≌△DAQ(ASA)，

∴AE=DQ．

②結論：．

理由：∵DQ⊥AE，FG⊥AE，

∴DQ∥FG，

∵FQ∥DG，

∴四邊形DQFG是平行四邊形，

∴FG=DQ，

∵AE=DQ，

∴FG=AE，

∴，

故答案為：1；

(2)結論：．

理由：如圖2中，作GM⊥AB于M．

∵AE⊥GF，

∴∠AOF=∠GMF=∠ABE=90°，

∴∠BAE+∠AFO=90°，∠AFO+∠FGM=90°，

∴∠BAE=∠FGM，

∴△ABE∽△GMF，

∴，

∵∠AMG=∠D=∠DAM=90°，

∴四邊形AMGD是矩形，

∴GM=AD，

∴．

(3)如圖2中，作PM⊥BC交BC的延長線于M．

∵FB∥GC，FE∥GP，

∴∠CGP=∠BFE，

∴tan∠CGP=tan∠BFE=，

∴假設BE=3m，BF=4m，EF=AF=5m，

∵，FG=2，

∴AE=3，

∴BE2+AB2=AE2，

∴(3m)2+(9m)2=(3)2，

∴m=1或﹣1(舍棄)，

∴BE=3，AB=9，

∵BC:AB=2:3，

∴BC=6，

∴BE=CE=3，AD=PE=BC=6，

∵∠EBF=∠FEP=∠PME=90°，

∴∠FEB+∠PEM=90°，∠PEM+∠EPM=90°，

∴∠FEB=∠EPM，

∴△FBE∽△EMP，

∴，

∴，

∴EM=，PM=，

∴CM=EM﹣EC=﹣3=，

∴PC=．