Question

【題目】已知關于的一元二次方程．

（1）求證：方程總有實數根．

（2）設這個方程的兩個實數根分別為，，且，求的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）利用根的判別式求出關于m的代數式，整理成非負數的形式即可判定b2-4ac≥0；

（2）根據一元二次方程根與系數得到兩根之和和兩根之積，然后把x12+x22=25，轉換為（x1+x2）2-2x1x2=25，然后利用前面的等式即可得到關于m的方程，解方程即可求出結果．

∵△=b2-4ac

=[-（m+3）]2-12m

=m2+6m+9-12m

=m2-6m+9

=（m-3）2；

又∵（m-3）2≥0，

∴b2-4ac≥0，

∴該方程總有實數根；

（2）∵x1+x2=m+3，x1x2=3m，x12+x22=25，

∴（x1+x2）2-2x1x2=25，

∴（m+3）2-2×3m=25，

9+m2=25， m2=16，

解得m=±4．

故m的值為±4．