Question

如圖，在平面直角坐標系中，以點C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點，開口向下的拋物線經過點A，B，且其頂點P在⊙C上．
（1）求∠ACB的大小；
（2）寫出A，B兩點的坐標；
（3）試確定此拋物線的解析式；
（4）在該拋物線上是否存在一點D，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可通過構建直角三角形來求解．過C作CH⊥AB于H，在直角三角形ACH中，根據半徑及C點的坐標即可用三角形函數求出∠ACB的值．
（2）根據垂徑定理可得出AH=BH，然后在直角三角形ACH中可求出AH的長，再根據C點的坐標即可得出A、B兩點的坐標．
（3）根據拋物線和圓的對稱性，即可得出圓心C和P點必在拋物線的對稱軸上，因此可得出P點的坐標為（1，3）．然后可用頂點式二次函數通式來設拋物線的解析式．根據A或B的坐標即可確定拋物線的解析式．
（4）如果OP、CD互相平分，那么四邊形OCPD是平行四邊形．因此PC平行且相等于OD，那么D點在y軸上，且坐標為（0，2）．然后將D點坐標代入拋物線的解析式中即可判定出是否存在這樣的點．

解答：解：（1）作CH⊥x軸，H為垂足，
∵CH=1，半徑CB=2，
∵∠BCH=60°，
∴∠ACB=120°．

（2）∵CH=1，半徑CB=2
∴HB=

3

，
故A（1-

3

，0），B（1+

3

，0）．

（3）由圓與拋物線的對稱性可知拋物線的頂點P的坐標為（1，3）
設拋物線解析式y=a（x-1）²+3，
把點B（1+

3

，0）代入上式，解得a=-1；
∴y=-x²+2x+2．

（4）假設存在點D使線段OP與CD互相平分，則四邊形OCPD是平行四邊形
∴PC∥OD且PC=OD．
∵PC∥y軸，
∴點D在y軸上．
又∵PC=2，
∴OD=2，即D（0，2）．
又D（0，2）滿足y=-x²+2x+2，
∴點D在拋物線上
∴存在D（0，2）使線段OP與CD互相平分．

點評：本題是綜合性較強的題型，所給的信息比較多，解決問題所需的知識點也較多，解題時必須抓住問題的關鍵點．二次函數和圓的綜合，要求對圓和二次函數的性質在掌握的基礎上靈活討論運動變化，對解題技巧和解題能力的要求上升到一個更高的臺階．要求學生解題具有條理，挖出題中所隱含的條件，會分析問題，找出解決問題的突破口．