Question

【題目】如圖，四個小球分別從正方形的四個頂點處出發（小球的大小忽略不計），以同樣的速度分別沿方向滾動，其終點分別是點，順次連接四個小球所在的位置，得到四邊形．

（1）不論小球滾動多長時間，求證；四邊形總是正方形；

（2）這個四邊形在什么時候面積最大？

（3）在什么時侯四邊形的面積為正方形面積的一半？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當在即將出發或到達終點時面積最大，此時；（3）當分別在的中點時，四邊形的面積為正方形面積的一半，理由見解析.

【解析】

(1)根據題意得,再結合四邊形是正方形，證明，即可證得四邊形為正方形；
(2) 根據題意得當在即將出發或到達終點時面積最大；
(3) 當分別在的中點時，四邊形的面積為正方形面積的一半．

解：（1）根據題意得．

∵四邊形是正方形，

∴°，

∴．

∵在和中，

，

∴，

∴，

∴四邊形為菱形，

∴，

∴，

∴四邊形為正方形．

（2）根據題意得當在即將出發或到達終點時面積最大，此時．

（3）當分別在的中點時，四邊形的面積為正方形面積的一半.

理由如下：

設正方形的邊長為，

則根據題意知．

在中，．

由勾股定理，得，

即，解得，

同理可得．

∴當四個小球分別在正方形各邊的中點時，四邊形的面積為正方形面積的一半．