Question

直線與軸交于點C（4,0），與軸交于點B，并與雙曲線交于點。
（1）求直線與雙曲線的解析式。
（2）連接OA，求的正弦值。
（3）若點D在軸的正半軸上，是否存在以點D、C、B構成的三角形與△OAB相似？若存在求出D點的坐標，若不存在，請說明理由。

Answer 1

(1) y=x-4；；(2) ；(3) （6，0）或（20，0）．

試題分析：（1）把點C的坐標代入y=x+b，求出b的值，得出直線的解析式；把點A（-1，n）代入y=x-4得到n的值，求出A點的坐標，再把將A點代入（x＜0）中，求出m的值，從而得出雙曲線的解析式；
（2）先過點O作OM⊥AC于點M，根據B點經過y軸，求出B點的坐標，根據勾股定理求出AO的值，根據OC=OB=4，得出△OCB是等腰三角形，求出∠OBC=∠OCB的度數，再在△OMB中，根據正弦定理求出OM的值，從而得出∠OAB的正弦值．
（3）先過點A作AN⊥y軸，垂足為點N，根據AN=1，BN=1，求出AB的值，根據OB=OC=4，求出BC的值，再根據∠OBC=∠OCB=45°，得出∠OBA=∠BCD，從而得出△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，最后根據，再代入求出CD的長，即可得出答案．
試題解析：（1）∵直線y=x+b與x軸交于點C（4，0），
∴把點C（4，0）代入y=x+b得：b=-4，
∴直線的解析式是：y=x-4；
∵直線也過A點，
∴把A點代入y=x-4得到：n="-5"
∴A（-1，-5），
把將A點代入（x＜0）得：m=5，
∴雙曲線的解析式是：；
（2）過點O作OM⊥AC于點M，
∵B點經過y軸，
∴x=0，
∴0-4=y，
∴y=-4，
∴B（0，-4），
AO=，
∵OC=OB=4，
∴△OCB是等腰三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴在△OMB中 sin45°=，
∴OM=2，
∴在△AOM中，
sin∠OAB=；
（3）存在；
過點A作AN⊥y軸，垂足為點N，
則AN=1，BN=1，
則AB=，
∵OB=OC=4，
∴BC=，
∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠OBA=∠BCD=135°，
∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，
∴，
∴或，
∴CD=2或CD=16，
∴點D的坐標是（6，0）或（20，0）．