Question

【題目】如圖，一次函數y1=k1x+b的圖象與反比例函數y2=的圖象相交于A，B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D，點B的坐標是（m，-4），連接AO，AO=5，sin∠AOC=．

（1）求反比例函數的解析式；

（2）連接OB，求△AOB的面積；

（3）請直接寫出當x＜m時，y2的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y2=-；（2）S△AOB=；（3）當x＜3時，y2＞0或y2＜-4．

【解析】

（1）過點A作AE⊥軸于點E，在Rt△AEO中，通過解直角三角形可求出點A的坐標，由反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出反比例函數的解析式；

（2）由反比例函數圖象上點的坐標特征可求出點B的坐標，根據點A、B的坐標，利用待定系數法可求出直線AB的解析式，再根據一次函數圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，利用三角形的面積公式即可求出△AOB的面積；

（3）觀察函數圖象可得出：＜0以及0＜＜3時，的取值范圍，合在一起即可得出結論．

解：（1）過點A作AE⊥x軸于點E，如圖所示．

在Rt△AEO中，AO=5，sin∠AOC=，

∴AE=AOsin∠AOC=5×=3，

∴OE==4，

∴點A的坐標為（-4，3）．

∵點A在反比例函數y2=的圖象上，

∴k2=-4×3=-12，

∴反比例函數的解析式為y2=-．

（2）∵點B（m，-4）反比例函數y2=-的圖象上，

∴-4=-，解得：m=3，

∴點B的坐標為（3，-4）．

將A（-4，3）、B（3，-4）代入y1=k1x+b中，

，解得：，

∴直線AB的解析式為y=-x-1．

當y=-x-1=0時，x=-1，

∴點C的坐標為（-1，0），

∴S△AOB=OC（yA-yB）=×1×[3-（-4）]=．

（3）觀察函數圖象可知：當x＜0時，y2＞0；當0＜x＜3時，y2＜-4．

∴當x＜3時，y2＞0或y2＜-4．