Question

已知：如圖，二次函數的圖象與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A、B，點A的坐標為（4，0）.

（1）求該二次函數的關系式；
（2）寫出該二次函數的對稱軸和頂點坐標；
（3）點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE∥AC，交BC于點E，連接CQ.當△CQE的面積最大時，求點Q的坐標；
（4）若平行于x軸的動直線與該拋物線交于點P，與直線AC交于點F，點D的坐標為（2，0）.問：是否存在這樣的直線，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1） （2）對稱軸為，頂點坐標為（1,4.5）
（3）Q（1,0） （4）存在，或或或

試題分析：（1）由題意，得 
解得 所求二次函數的關系式為：．
（2）對稱軸為直線x＝1，頂點坐標為（1，4.5）
（3）設點的坐標為，過點作軸于點．
由，得，．
點的坐標為．
，．
，．，
即．．

．
又，
當時，有最大值3，此時．
（4）存在
在中．
（ⅰ）若，，．
又在中，，．．
．此時，點的坐標為．
由，得，．
此時，點的坐標為：或．
（ⅱ）若，過點作軸于點，
由等腰三角形的性質得：，，
在等腰直角中，．．
由，得，．
此時，點的坐標為：或．（ⅲ）若，，且，
點到的距離為，而，
此時，不存在這樣的直線，使得是等腰三角形．
綜上所述，存在這樣的直線，使得是等腰三角形．
所求點的坐標為：或或或
點評：此類題目作為試卷的壓軸題，難度一般不小，一般來說，第一第二問比較容易，而通過求出函數的解析式，進行接下來一系列的解答