Question

如圖，已知拋物線y＝x²＋bx＋c與坐標軸交于A、B、C三點， A點的坐標為（－1，0），過點C的直線y＝x－3與x軸交于點Q，點P是線段BC上的一個動點，過P作PH⊥OB于點H．若PB＝5t，且0＜t＜1．

（1）填空：點C的坐標是     ，b＝   ，c＝    ；
（2）求線段QH的長（用含t的式子表示）；
（3）依點P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點的三角形與△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）（0，－3），－，－3；（2）｜4－8t｜；（3）t₁＝－1，t₂＝，t₃＝

試題分析：（1）由于直線y＝x－3過C點，因此C點的坐標為（0，-3），那么拋物線的解析式中c=-3，然后將A點的坐標代入拋物線的解析式中即可求出b的值；
（2）求QH的長，需知道OQ，OH的長．根據CQ所在直線的解析式即可求出Q的坐標，也就得出了OQ的長，然后求OH的長．在（1）中可得出拋物線的解析式，那么可求出B的坐標．在直角三角形BPH中，可根據BP=5t以及∠CBO的正弦值（可在直角三角形COB中求出）．得出BH的長，根據OB的長即可求出OH的長．然后OH，OQ的差的絕對值就是QH的長；
（3）本題要分①當H在Q、B之間．②在H在O，Q之間兩種情況進行討論；根據不同的對應角得出的不同的對應成比例線段來求出t的值．
（1）（0，－3），b＝－，c＝－3．
（2）由（1），得y＝x²－x－3，它與x軸交于A，B兩點，得B（4，0）．
∴OB＝4，
又∵OC＝3，
∴BC＝5．
由題意，得△BHP∽△BOC，
∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5，
∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，
∵PB＝5t，
∴HB＝4t，HP＝3t．
∴OH＝OB－HB＝4－4t．
由y＝x－3與x軸交于點Q，得Q（4t，0）．
∴OQ＝4t．
①當H在Q、B之間時，QH＝OH－OQ＝（4－4t）－4t＝4－8t．
②當H在O、Q之間時，QH＝OQ－OH＝4t－（4－4t）＝8t－4．
綜合①，②得QH＝｜4－8t｜；
（3）存在t的值，使以P、H、Q為頂點的三角形與△COQ相似．
①當H在Q、B之間時，QH＝4－8t，
若△QHP∽△COQ，則QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，解得t＝
若△PHQ∽△COQ，則PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，解得t₁＝－1，t₂＝－－1（舍去）．
②當H在O、Q之間時，QH＝8t－4．
若△QHP∽△COQ，則QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，解得t＝．
若△PHQ∽△COQ，則PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，解得t₁＝t₂＝1（舍去）．
綜上所述，存在的值，t₁＝－1，t₂＝，t₃＝．
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．