Question

【題目】某公司對辦公大樓一塊墻面進行如圖所示的圖案設計．這個圖案由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼接而成的大正方形，設小正方形的邊長m，直角三角形較短邊長n，且n＝2m﹣4，大正方形的面積為S．

（1）求S關于m的函數關系式．

（2）若小正方形邊長不大于3，當大正方形面積最大時，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）S＝13m2﹣40m+32（m＞2）；（2）m＝3

【解析】

（1）根據小正方形的邊長m，直角三角形較短邊長n，即可得出直角三角形較長邊長為m+n，根據勾股定理即可得出函數關系式；

（2）根據二次函數的性質和題意中的取值范圍即可得出S的最大值，從而可求的m．

解：（1）∵小正方形的邊長m，直角三角形較短邊長n，

∴直角三角形較長邊長為m+n，

∴由勾股定理得：S＝（m+n）2+n2，

∵n＝2m﹣4，

∴S＝（m+2m﹣4）2+（2m﹣4）2，

＝13m2﹣40m+32，

∵n＝2m﹣4＞0，

∴m＞2，

∴S關于m的函數關系式為S＝13m2﹣40m+32（m＞2）；

（2）∵S＝13m2﹣40m+32（2＜m≤3），

∴S＝13(m-)2+

∵m≥時，S隨x的增大而增大，

∴m＝3時，S取最大．

∴m＝3．