Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，AD=9cm，CD=cm，∠B=45°，點(diǎn)M、N分別以A、C為起點(diǎn)，1cm/秒的速度沿AD、CB邊運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0≤t≤6）

（1）求BC邊上高AE的長度；

（2）連接AN、CM，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AMCN為菱形；

（3）作MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形MPNQ為正方形．

Answer 1

【答案】（1）3cm；（2）當(dāng)t為時(shí)，四邊形AMCN為菱形；（3）當(dāng)t為4.5或1.5秒時(shí)，四邊形MPNQ為正方形

【解析】

（1）先由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD=3cm．再解直角△ABE，即可求出AE的長度；
（2）先證明四邊形AMCN為平行四邊形，則當(dāng)AN=AM時(shí)，四邊形AMCN為菱形．根據(jù)AN=AM列出方程32+（6-t）2=t2，解方程即可；
（3）先證明四邊形MPNQ為矩形，則當(dāng)QM=QN時(shí)，四邊形MPNQ為正方形．根據(jù)QM=QN列出方程|2t-6|=3，解方程即可．

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=3cm．
在直角△ABE中，∵∠AEB=90°，∠B=45°，
∴AE=ABsin∠B=3× =3（cm）；
（2）∵點(diǎn)M、N分別以A、C為起點(diǎn)，1cm/秒的速度沿AD、CB邊運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0≤t≤6），
∴AM=CN=t，
∵AM∥CN，
∴四邊形AMCN為平行四邊形，
∴當(dāng)AN=AM時(shí)，四邊形AMCN為菱形．
∵BE=AE=3，EN=|6-t|，
∴AN2=32+（6-t）2，
∴32+（6-t）2=t2，
解得t=．
所以當(dāng)t為時(shí)，四邊形AMCN為菱形；
（3）∵MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，QM∥NP，

∴四邊形MPNQ為矩形，
∴當(dāng)QM=QN時(shí)，四邊形MPNQ為正方形．
∵AM=CN=t，BE=3，
∴AQ=EN=BC-BE-CN=9-3-t=6-t，
∴QM=AM-AQ=|t-（6-t）|=|2t-6|（注：分點(diǎn)Q在點(diǎn)M的左右兩種情況），
∵QN=AE=3，
∴|2t-6|=3，
解得t=4.5或t=1.5．
所以當(dāng)t為4.5或1.5秒時(shí)，四邊形MPNQ為正方形．