Question

【題目】已知，在正方形 ABCD 中，AB＝5，點 F 是邊 DC 上的一個動點，將△ADF 繞點 A 順時針旋轉 90°至△ABE，點 F 的對應點 E 落在 CB 的延長線上，連接 EF．

(1)如圖 1，求證：∠DAF+∠FEC＝∠AEF；

(2)將△ADF 沿 AF 翻折至△AGF，連接 EG．

①如圖 2，若 DF＝2，求 EG 的長；

②如圖 3，連接 BD 交 EF 于點 Q，連接 GQ，則 S△QEG 的最大值為 ．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)①EG＝；②.

【解析】

（1）由∠DAF+∠EAF+∠AEF+∠FEC＝180°，∠DAF+∠FEC＝45°，可推出結果；

（2）①連接 BF, 證出△AEG≌△AFB（SAS），即可根據勾股定理求出EG；②作 FH⊥CD 交 BD 于 H，QM⊥BC 于 M，連接 BF，BG，設BF 交 EG 于點 O，證出△EFG≌△FEB（SSS），設 DF＝EB＝x，再證出△FHQ≌△EBQ（AAS），列出含x的面積公式，利用二次函數配方即可得到最大值.

證明：如圖 1 中，

∵四邊形 ABCD 是正方形，

∴AD∥BC，∴∠DAE+∠AEC＝180°，

∵△ABE 是由△ADF 繞點 A 順時針旋轉 90°得到，

∴∠EAF＝90°，AE＝AF，

∴∠AEF＝45°，

∴∠DAF+∠EAF+∠AEF+∠FEC＝180°，

∴∠DAF+∠FEC＝45°，

∴∠DAF+∠FEC＝∠AEF．

①如圖 2 中，連接 BF．

∵四邊形 ABCD 是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝5，∠C＝90°，

∵DF＝2，

∴CF＝3，

∵∠DAF＝∠FAG＝∠BAE，

∴∠EAG＝∠FAB，

∵AE＝AF，AG＝AB，

∴△AEG≌△AFB（SAS），

∴EG＝BF，

在 Rt△BCF 中，BF＝＝，

∴EG＝BF＝ ．

②如圖 3 中，作 FH⊥CD 交 BD 于 H，QM⊥BC 于 M，連接 BF，BG，設

BF 交 EG 于點 O．

∵EG＝BF，BF＝FB，FG＝EB，

∴△EFG≌△FEB（SSS），

∴∠GEF＝∠EFB，

同法可證∠FBG＝∠EGB，

∵∠EOF＝∠BOG，

∴∠EFB＝∠FBG，

∴EF∥BG，

∴S△EQG＝S△EBQ，設 DF＝EB＝x，則 CF＝5﹣x，

∵FH∥BE，FH＝DF＝EB，

∴∠FHQ＝∠EBQ，

∵∠HQF＝∠EQB，

∴△FHQ≌△EBQ（AAS），

∴FQ＝EQ，

∵QM∥CF，

∴EM＝MC，

∴QM＝CF＝（5﹣x），

∴S△EQG＝S△E BQ＝x （5﹣x）＝﹣ （x2﹣5x）＝﹣ （x﹣ ）2+ ，

∵﹣＜0，

∴x＝ 時，△EQG 的面積最大，最大值為， 故答案為．