Question

【題目】如圖，中，，，，點是邊上一定點，且，點是線段上一動點，連接，以為斜邊在的右側作等腰直角．當點從點出發運動至點停止時，點的運動的路徑長為_________．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，連接CF，作FM⊥BC于M，FN⊥AC于N．證明△FNA≌△FME（AAS），推出FM=FM，AN=EM，推出四邊形CMFN是正方形，推出點F在射線CF上運動（CF是∠ACB的角平分線），求出兩種特殊位置CF的長即可解決問題．

如圖，連接CF，作FM⊥BC于M，FN⊥AC于N．

∵∠FNC=∠MCN=∠FMC=90°，
∴四邊形CMFN是矩形，
∴∠MFN=∠AFE=90°，
∴∠AFN=∠MFE，
∵AF=FE，∠FNA=∠FME=90°，
∴△FNA≌△FME（AAS），
∴FM=FM，AN=EM，
∴四邊形CMFN是正方形，
∴CN=CM，CF=CM，∠FCN=∠FCM=45°，
∵AC+CE=CN+AN+CM-EM=2CM，
∴CF= （AC+CE）．
∴點F在射線CF上運動（CF是∠ACB的角平分線），
當點E與D重合時，CF=（AC+CD）=2，
當點E與B重合時，CF=（AC+CB）=，
∵-2= ，
∴點F的運動的路徑長為．
故答案為：．