Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AD＝3，DC＝4，動點P在線段DC上以每秒1個單位的速度從點D向點C運動，過點P作PQ∥AC交AD于Q，將△PDQ沿PQ翻折得到△PQE. 設點P的運動時間為t（s）．

（1）當點E落在邊AB上時，t的值為 ；

（2）設△PQE與△ADC重疊部分的面積為s，求s與t的函數關系式；

（3）如圖2，以PE為直徑作⊙O．當⊙O與AC邊相切時，求CP的長．

Answer 1

【答案】（1）（2）s=（當0＜t≤2），s=（2＜t≤4）（3）

【解析】分析：（1）過P作PF⊥BA于F，由∠QPD=∠ACD，得到∠QPD和∠ACD的三角函數相等，得到QD=，PQ=，EQ=QD=，AQ=．在△EFP中，由勾股定理得到EF=，由同角的余角相等，得到∠FEP=∠EQA，得到cos∠FEP=cos∠EQA，即，解方程即可得到結論；

（2）當E剛好在CA上時，如圖3，由平行線的性質和折疊的性質得到∠1=∠4=∠2=∠3，得到PC=PE=PD=t，即2t=4，解方程即可．然后分兩種情況討論：

①當時， S=S△EPQ=S△PDQ即可得到結論；

②當時，如圖4，由（2）可知，PM=PC=4-t，得到EM=t-（4-t）=2t－4，由相似三角形的性質得到 ，由 S=即可得到結論．

（3）如圖，設切點為H，作PG⊥AC于G，連接HO并延長交PQ于F．設CP＝5x，則PG＝3x，PD＝PE＝4－5x，由OF＝ OP， 得到HF＝OH＋OF=（ 4－5x ） ，從而得到（ 4－5x ）＝3x，求出x的值 ，由CP＝5x即可得到結論．

詳解：（1）過P作PF⊥BA于F．在△ADC中，sin∠ACD=，cos∠ACD=．∵PQ∥CA，∴∠QPD=∠ACD，tan∠ACD=．∵PD=PE=t，∴QD=，PQ=，∴EQ=QD=，AQ=．在△EFP中，∵PF=3，PE=t，∴EF=．∵∠PEQ=90°，∴∠FEP+∠EPF=90°，∠AEQ+∠EQA=90°，∴∠FEP=∠EQA，∴cos∠FEP=cos∠EQA，∴，解得：t=；

（2）當E剛好在CA上時，如圖3．∵PQ∥CA，∴∠1=∠4，∠2=∠3．∵∠3=∠4，∴∠1=∠2，∴PC=PE．∵PE=PD=t，∴PC=PD=t，∴2t=4，解得：t=2．

①當時，如圖1，S=S△EPQ=S△PDQ=PDQD==；

②當時，如圖4，由（2）可知，PM=PC=4-t，∴EM=t-（4-t）=2t－4．∵AC∥PQ，∴△EMN∽△EPQ，∴ ．∵S△EPQ=S△PDQ=PDQD==，∴ ，∴S==-=．

綜上所述：S=

（3）如圖，設切點為H，作PG⊥AC于G，連接HO并延長交PQ于F．

設CP＝5x，則PG＝3x，PD＝PE＝4－5x，

∵OF＝ OP， ∴HF＝OH＋OF＝OP＋OF＝ OP＝ PD＝（ 4－5x ）

∴（ 4－5x ）＝3x，解得：x＝ ，∴CP＝5x＝．