Question

22、如圖，要在河邊修建一個水泵站，分別向張村A和李莊B送水，已知張村A、李莊B到河邊的距離分別為2km和7km，且張、李二村莊相距13km．
（1）水泵應建在什么地方，可使所用的水管最短？請在圖中設計出水泵站的位置；
（2）如果鋪設水管的工程費用為每千米1500元，為使鋪設水管費用最節省，請求出最節省的鋪設水管的費用為多少元？

Answer 1

分析：（1）作點A關于河邊所在直線l的對稱點A′，連接A′B交l于P，則點P為水泵站的位置；
（2）利用了軸對稱的性質，勾股定理，兩點之間線段最短的性質即可求解．

解答：解：（1）作點A關于河邊所在直線l的對稱點A′，連接A′B交l于P，
則點P為水泵站的位置，此時，PA+PB的長度之和最短，即所鋪設水管最短；

（2）過B點作l的垂線，過A′作l的平行線，
設這兩線交于點C，則∠C=90°．
又過A作AE⊥BC于E，
依題意BE=5，AB=13，
∴AE²=AB²-BE²=13²-5²=144．
∴AE=12．
由平移關系，A′C=AE=12，
△BA′C中，∵BC=7+2=9，A′C=12，
∴A′B′²=A′C²+BC²=9²+12²=225，
∴A′B=15．
∵PA=PA′，
∴PA+PB=A′B=15．
∴1500×15=22500（元）．

點評：考查最短路線問題；作出輔助線，構造出最短路線為斜邊的直角三角形是解決本題的難點．