Question

【題目】尤秀同學遇到了這樣一個問題：如圖1所示，已知AF，BE是△ABC的中線，且AF⊥BE，垂足為P，設BC=a，AC=b，AB=c．
求證：a2+b2=5c2
該同學仔細分析后，得到如下解題思路：
先連接EF，利用EF為△ABC的中位線得到△EPF∽△BPA，故 ，設PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分別表示出來，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理計算，消去m，n即可得證

（1）請你根據以上解題思路幫尤秀同學寫出證明過程．
（2）利用題中的結論，解答下列問題：在邊長為3的菱形ABCD中，O為對角線AC，BD的交點，E，F分別為線段AO，DO的中點，連接BE，CF并延長交于點M，BM，CM分別交AD于點G，H，如圖2所示，求MG2+MH2的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設PF=m，PE=n，連結EF，如圖1，

∵AF，BE是△ABC的中線，

∴EF為△ABC的中位線，AE= b，BF= a，

∴EF∥AB，EF= c，

∴△EFP∽△BPA，

∴ ，即 = ，

∴PB=2n，PA=2m，

在Rt△AEP中，∵PE2+PA2=AE2，

∴n2+4m2= b2①，

在Rt△AEP中，∵PF2+PB2=BF2，

∴m2+4n2= a2②，

①+②得5（n2+m2）= （a2+b2），

在Rt△EFP中，∵PE2+PF2=EF2，

∴n2+m2=EF2= c2，

∴5 c2= （a2+b2），

∴a2+b2=5c2；

（2）

解：∵四邊形ABCD為菱形，

∴BD⊥AC，

∵E，F分別為線段AO，DO的中點，

由（1）的結論得MB2+MC2=5BC2=5×32=45，

∵AG∥BC，

∴△AEG∽△CEB，

∴ = ，

∴AG=1，

同理可得DH=1，

∴GH=1，

∴GH∥BC，

∴ = ，

∴MB=3GM，MC=3MH，

∴9MG2+9MH2=45，

∴MG2+MH2=5．

【解析】（1）設PF=m，PE=n，連結EF，如圖1，根據三角形中位線性質得EF∥AB，EF= c，則可判斷△EFP∽△BPA，利用相似比得到PB=2n，PA=2m，接著根據勾股定理得到n2+4m2= b2 ， m2+4n2= a2 ， 則5（n2+m2）= （a2+b2），而n2+m2=EF2= c2 ， 所以a2+b2=5c2；（2）利用（1）的結論得MB2+MC2=5BC2=5×32=45，再利用△AEG∽△CEB可計算出AG=1，同理可得DH=1，則GH=1，然后利用GH∥BC，根據平行線分線段長比例定理得到MB=3GM，MC=3MH，然后等量代換后可得MG2+MH2=5．本題考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；有兩組角對應相等的兩個三角形相似．也考查了三角形中位線性質和菱形的性質．