Question

【題目】在ABCD中，點B關于AD的對稱點為B′，連接AB′，CB′，CB′交AD于F點．
（1）如圖1，∠ABC=90°，求證：F為CB′的中點；

（2）小宇通過觀察、實驗、提出猜想：如圖2，在點B繞點A旋轉的過程中，點F始終為CB′的中點．小宇把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1：過點B′作B′G∥CD交AD于G點，只需證三角形全等；
想法2：連接BB′交AD于H點，只需證H為BB′的中點；
想法3：連接BB′，BF，只需證∠B′BC=90°．
…
請你參考上面的想法，證明F為CB′的中點．（一種方法即可）
（3）如圖3，當∠ABC=135°時，AB′，CD的延長線相交于點E，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：證明：

∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC=90°，

∴□ABCD為矩形，AB=CD，

∴∠D=∠BAD=90°，

∵B，B′關于AD對稱，

∴∠B′AD=∠BAD=90°，AB=AB′，

∴∠B′AD=∠D，

∵∠AFB′=∠CFD，

在△AFB′與△CFD中， ，

∴△AFB′≌△CFD（AAS），

∴FB′=FC，

∴F是CB′的中點

（2）

解：證明：

方法1：如圖2，

過點B′作B′G∥CD交AD于點G，

∵B，B′關于AD對稱，

∴∠1=∠2，AB=AB′，

∵B′G∥CD，AB∥CD，

∴B′G∥AB．

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴B′A=B′G，

∵AB=CD，AB=AB′，

∴B′G=CD，

∵B′G∥CD，

∴∠4=∠D，

∵∠B′FG=∠CFD，

在△B′FG與△CFD中 ，

∴△B′FG≌△CFD（AAS），

∴FB′=FC，

∴F是CB′的中點；

方法2：連接BB′交直線AD于H點，

∵B，B′關于AD對稱，

∴AD是線段B′B的垂直平分線，

∴B′H=HB，

∵AD∥BC，

∴ = =1，

∴FB′=FC．

∴F是CB′的中點；

方法3：連接BB′，BF，

∵B，B′關于AD對稱，

∴AD是線段B′B的垂直平分線，

∴B′F=FB，

∴∠1=∠2，

∵AD∥BC，

∴B′B⊥BC，

∴∠B′BC=90°，

∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，

∴∠3=∠4，

∴FB=FC，

∴B′F=FB=FC，

∴F是CB′的中點；

（3）

解：取B′E的中點G，連結GF，

∵由（2）得，F為CB′的中點，

∴FG∥CE，FG= CE，

∵∠ABC=135°，□ABCD中，AD∥BC，

∴∠BAD=180°﹣∠ABC=45°，

∴由對稱性，∠EAD=∠BAD=45°，

∵FG∥CE，AB∥CD，

∴FG∥AB，

∴∠GFA=∠FAB=45°，

∴∠FGA=90°，GA=GF，

∴FG=sin∠EADAF= AF，

∴由①，②可得 = ．

【解析】（1）證明：根據已知條件得到□ABCD為矩形，AB=CD，根據矩形的性質得到∠D=∠BAD=90°，根據全等三角形的性質即可得到結論；（2）方法1：如圖2，過點B′作B′G∥CD交AD于點G，由軸對稱的性質得到∠1=∠2，AB=AB′，根據平行線的性質得到∠2=∠3，∠1=∠3，根據平行線的性質得到∠4=∠D，根據全等三角形的性質即可得到結論；方法2：連接BB′交直線AD于H點，根據線段垂直平分線的性質得到B′H=HB，由平行線分線段成比例定理得到結論；方法3：連接BB′，BF，根據軸對稱的性質得到AD是線段B′B的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質得到B′F=FB，得到∠1=∠2，由平行線的性質得到∠B′BC=90°，根據余角的性質得到∠3=∠4，于是得到結論；（3）取B′E的中點G，連結GF，由（2）得，F為CB′的中點，根據平行線的性質得到∠BAD=180°﹣∠ABC=45°，由對稱性的性質得到∠EAD=∠BAD=45°，根據平行線的性質得到∠GFA=∠FAB=45°，根據三角函數的定義即可得到結論．
【考點精析】本題主要考查了全等三角形的性質和相似三角形的性質的相關知識點，需要掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等；對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形才能正確解答此題．