Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，點D是BC邊上一動點，點E，F分別在AB，AC邊上，連接AD，DE，DF，且∠ADE=∠ADF=60°．

小明通過觀察、實驗，提出猜想：在點D運動的過程中，始終有AE=AF，小明把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1：利用AD是∠EDF的角平分線，構造△ADF的全等三角形，然后通過等腰三角形的相關知識獲證．

想法2：利用AD是∠EDF的角平分線，構造角平分線的性質定理的基本圖形，然后通過全等三角形的相關知識獲證．

想法3：將△ACD繞點A順時針旋轉至△ABG，使得AC和AB重合，然后通過全等三角形的相關知識獲證．

請你參考上面的想法，幫助小明證明AE=AF．（一種方法即可）

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

想法1：在DE上截取DG=DF，連接AG，先判定△ADG≌△ADF，得到AG=AF，再根據∠AEG=∠AGE，得出AE=AG，進而得到AE=AF；

想法2：過A作AG⊥DE于G，AH⊥DF于H，依據角平分線的性質得到AG=AH，進而判定△AEG≌△AFH，即可得到AE=AF；

想法3：將△ACD繞著點A順時針旋轉至△ABG，使得AC與AB重合，連接DG，判定△AGD是等邊三角形，進而得出△AGE≌△ADF，即可得到AE=AF．

證明：

想法1：如圖，在DE上截取DG=DF，連接AG，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∵∠ADE=∠ADF=60°，AD=AD，

∴△ADG≌△ADF，

∴AG=AF，∠1=∠2，

∵∠ADB=60°+∠3=60°+∠2，

∴∠3=∠2，

∴∠3=∠1，

∵∠AEG=60°+∠3，∠AGE=60°+∠1，

∴∠AEG=∠AGE，

∴AE=AG，

∴AE=AF；

想法2：如圖，過A作AG⊥DE于G，AH⊥DF于H，

∵∠ADE=∠ADF=60°，

∴AG=AH，

∵∠FDC=60°﹣∠1，

∴∠AFH=∠DFC=60°+∠1，

∵∠AED=60°+∠1，

∴∠AEG=∠AFH，

∴△AEG≌△AFH，

∴AE=AF；

想法3：如圖，將△ACD繞著點A順時針旋轉至△ABG，使得AC與AB重合，連接DG，

∴△ABG≌△ACD，

∴AG=AD，∠GAB=∠DAC，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=∠ABC=∠C=60°，

∴∠GAD=60°，

∴△AGD是等邊三角形，

∴∠ADG=∠AGD=60°，

∵∠ADE=60°，

∴G，E，D三點共線，

∴△AGE≌△ADF，

∴AE=AF．