Question

【題目】如圖，已知拋物線經過原點O，頂點為A（1，1），且與直線y=x﹣2交于B，C兩點．

⑴求拋物線的解析式及點C的坐標；

⑵求證：△ABC是直角三角形；

⑶若點N為x軸上的一個動點，過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M，則是否存在以O，M，N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2+2x；C(-1，-3)；(2)證明過程略；(3)（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）.

【解析】

（1）可設頂點式，把原點坐標代入可求得拋物線解析式，聯立直線與拋物線解析式，可求得C點坐標；
（2）分別過A、C兩點作x軸的垂線，交x軸于點D、E兩點，結合A、B、C三點的坐標可求得∠ABO=∠CBO=45°，可證得結論；
（3）設出N點坐標，可表示出M點坐標，從而可表示出MN、ON的長度，當△MON和△ABC相似時，利用三角形相似的性質可得或，可求得N點的坐標．

解：（1）∵頂點坐標為（1，1），
∴設拋物線解析式為y=a（x-1）2+1，
又拋物線過原點，
∴0=a（0-1）2+1，解得a=-1，
∴拋物線解析式為y=-（x-1）2+1，
即y=-x2+2x，
聯立拋物線和直線解析式可得 ,

解得或 ,

∴B（2，0），C（-1，-3）；
（2）如圖，分別過A、C兩點作x軸的垂線，交x軸于點D、E兩點，

則AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，
∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）假設存在滿足條件的點N，設N（x，0），則M（x，-x2+2x），
∴ON=|x|，MN=|-x2+2x|，
由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分別求得AB= ，BC=3，
∵MN⊥x軸于點N
∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴當△ABC和△MNO相似時有或，

當時，則有 ，即|x||-x+2|=|x|，

∵當x=0時M、O、N不能構成三角形，

∴x≠0，

∴|-x+2|=，即-x+2=± ，解得x= 或x= ，

此時N點坐標為（，0）或（，0）；

②當時，則有，即|x||-x+2|=3|x|，

∴|-x+2|=3，即-x+2=±3，解得x=5或x=-1，
此時N點坐標為（-1，0）或（5，0），

綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標為（ ，0）或（ ，0）或（-1，0）或（5，0）．