Question

【題目】（本題共10分）AB和AC 相交于點A， BD和CD相交于點D，探究∠BDC與∠B 、 ∠C、∠BAC的關系．

小明是這樣做的：

解：以點A為端點作射線AD．

∵∠1是△ABD的外角，∴∠1= ∠B+∠BAD．

同理∠2=∠C+∠CAD．

∴∠1+∠2=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD．即∠BDC=∠B+∠C+∠BAC．

小英的思路是：延長BD交AC于點E．

（1）按小英的思路完成∠BDC=∠B+∠C+∠BAC這一結論．

（2）按照上面的思路解決如下問題：如圖：在△ABC中，BE、CD分別是∠ABC∠ACB的角平分線，交AC于E，交AB于D．BE、CD相交于點O，∠A=60°．求∠BOC的度數．

（3）如圖：△ABC中，BO、CO分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，且BO、CO相交于點O．猜想∠BOC與∠A有怎樣的關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）120°；（3）∠BOC=90°+ ∠A．

【解析】試題分析：

（1）按小英的思路：∠BDC是△DCE的外角，∠DEC是△ABE的外角，則由三角形外角的性質可得；∠BDC=∠C+∠DEC，∠DEC=∠B+∠BAC，由此可得：∠BDC=∠C+∠B+∠BAC；

（2）由△ABC中，BE、CD分別是∠ABC∠ACB的角平分線，交AC于E，交AB于D．BE、CD相交于點O，可得∠ABO+∠ACO=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=60°，

再由（1）可得∠BOC=∠ABO+∠ACO+∠A=120°；

（3）由（2）可得：∠ABO+∠ACO=（180°-∠A）=90°-∠A，再由（1）可得：∠BOC=∠ABO+∠ACO+∠A=90°-∠A+∠A=90°+∠A.

試題解析：

（1）延長BD交AC于E，

∵∠BDC= ∠C+∠CED，∠CED=∠BAC+∠B，

∴∠BDC=∠C+∠B+∠BAC；

（2）∵△ABC中，BE、CD分別是∠ABC∠ACB的角平分線，

∴∠ABE=∠ABC，∠ACD=∠ACB，

∴∠ABE+∠ACD=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=60°，

由（1）知∠BOC=∠ABE+∠ACD+∠A

∴∠BOC=60°+60°=120°；

（3）∠BOC與∠A的關系：∠BOC=90°+∠A，理由如下：

∵△ABC中，BO、CO分別是∠ABC∠ACB的角平分線，

∴∠ABO=∠ABC，∠ACO=∠ACB，

∴∠ABO+∠ACO=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A，

又∵由（1）可知：∠BOC=∠ABO+∠ACO+∠A，

∴∠BOC=90°-∠A+∠A=90°+∠A.