Question

如圖，已知等邊△ABC和點P，設點P到△ABC三邊AB、AC、BC（或其延長線）的距離分別為h₁、h₂、h₃，△ABC的高為h．
在圖（1）中，點P是邊BC的中點，此時h₃=0，可得結論：h₁+h₂+h₃=h．
在圖（2），（3），（4），（5）中，點P分別在線段MC上、MC延長線上、△ABC內、△ABC外．
（1）請探究：圖（2），（3），（4），（5）中，h₁、h₂、h₃、h之間的關系；（直接寫出結論）圖②-⑤中的關系依次是：
h₁+h₂+h₃=h；h₁-h₂+h₃=h；h₁+h₂+h₃=h；h₁+h₂-h₃=h；
（2）證明圖（2）所得結論；
（3）證明圖（4）所得結論；
（4）（附加題2分）在圖（6）中，若四邊形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，點P在梯形內，且點P到四邊BR、RS、SC、CB的距離分別是h₁、h₂、h₃、h₄，橋形的高為h，則h₁、h₂、h₃、h₄、h之間的關系為：h₁+h₃+h₄=．圖（4）與圖（6）中的等式有何關系．

Answer 1

【答案】分析：（1）圖②-⑤中的關系依次是：h₁+h₂+h₃=h；h₁-h₂+h₃=h；h₁+h₂+h₃=h；h₁+h₂-h₃=h；
（2）由圖（2）有S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC根據等邊三角形的性質，及面積公式得出結論；
（3）由圖（4）有S_△ABP+S_△BCP+S_△ACP=S_△ABC，根據等邊三角形的性質，及面積公式得出結論；
（4）延長BR、CS交于A，由（3）有h₁+h₃+h₄=．
解答：解：（1）圖②-⑤中的關系依次是：
h₁+h₂+h₃=h；h₁-h₂+h₃=h；h₁+h₂+h₃=h；h₁+h₂-h₃=h；（4分）

（2）圖②中，h₁+h₂+h₃=h．
證法一：
∵h₁=BPsin60°，h₂=PCsin60°，h₃=0，（6分）
∴h₁+h₂+h₃=BPsin60°+PCsin60°
=BCsin60°
=ACsin60°
=h．（8分）
證法二：連接AP，則S_△APB+S_△APC=S_△ABC．（6分）
∴．
又h₃=0，AB=AC=BC，
∴h₁+h₂+h₃=h；（8分）

證明：（3）圖④中，h₁+h₂+h₃=h．
過點P作RS∥BC與邊AB、AC相交于R、S．（9分）在△ARS中，由圖②中結論知：h₁+h₂+0=h-h₃．
∴h₁+h₂+h₃=h．（10分）
說明：（2）與（3）問，通過作輔助線，利用證全等三角形的方法類似給分；

（4）由（3）可知：h₁+h₃+h₄=．（11分）
讓R、S延BR、CS延長線向上平移，當n=0時，圖⑥變為圖④，上面的等式就是圖④中的等式，所以上面結論是圖④中結論的推廣．（12分）
點評：本題是一個探究性很強的題目，主要考查等邊三角形的性質，及結論在等腰梯形中的推廣．