Question

【題目】如圖1，在銳角△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于F，且BF=AC。求證：ED平分∠FEC。

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】分析：求出∠DBF=∠DAC，由AAS證明△BDF≌△ADC．得出對應邊相等BD=AD，由等腰直角三角形的性質得出∠BAD=∠ABD=45°，證明A、B、D、E四點共圓，由圓周角定理得出∠BED=∠BAD=45°，得出∠CED=∠BED，即可得出結論.

本題解析：

∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠BDF=∠ADC=90°，∠AEB=∠FEC=90°，

∵∠DBF+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，

∴∠DBF=∠DAC，

在△BDF和△ADC中，

∴△BDF≌△ADC（AAS），

∴BD=AD，

∴∠BAD=∠ABD=45°，

∵∠AEB=∠ADB=90°，

∴A、B、D、E四點共圓，

∴∠BED=∠BAD=45°，

∴∠CED=90°-45°=45°=∠BED，

∴ED平分∠FEC。