Question

【題目】問題情景：數學課上，老師布置了這樣一道題目，如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是BC的中點，且滿足∠ADE＝60°，DE交等邊三角形外角平分線于點E．試探究AD與DE的數量關系．

操作發現：（1）小明同學過點D作DF∥AC交AB于F，通過構造全等三角形經過推理論證就可以解決問題，請您按照小明同學的方法確定AD與DE的數量關系，并進行證明．

類比探究：（2）如圖2，當點D是線段BC上任意一點(除B、C外)，其他條件不變，試猜想AD與DE之間的數量關系，并證明你的結論．

拓展應用：（3）當點D在線段BC的延長線上，且滿足CD＝BC，在圖3中補全圖形，直接判斷△ADE的形狀(不要求證明)．

Answer 1

【答案】（1）AD＝DE，見解析；（2）AD＝DE，見解析；（3）見解析，△ADE是等邊三角形，

【解析】

（1）根據題意，通過平行線的性質及等邊三角形的性質證明即可得解；

（2）根據題意，通過平行線的性質及等邊三角形的性質證明即可得解；

（3）根據垂直平分線的性質及等邊三角形的判定定理進行證明即可.

（1）如下圖，數量關系：AD＝DE.

證明：∵是等邊三角形

∴AB＝BC，

∵DF∥AC

∴，∠BDF＝∠BCA

∴

∴是等邊三角形，

∴DF＝BD

∵點D是BC的中點

∴BD＝CD

∴DF＝CD

∵CE是等邊的外角平分線

∴

∵是等邊三角形，點D是BC的中點

∴AD⊥BC

∴

∵

∴

在與中

∴

∴AD＝DE；

（2）結論：AD＝DE.

證明：如下圖，過點D作DF∥AC，交AB于F

∵是等邊三角形

∴AB＝BC，

∵DF∥AC

∴

∴

∴是等邊三角形，

∴BF＝BD

∴AF＝DC

∵CE是等邊的外角平分線

∴

∵∠ADC是的外角

∴

∵

∴∠FAD＝∠CDE

在與中

∴

∴AD＝DE；

（3）如下圖，是等邊三角形.

證明：∵

∴

∵CE平分

∴CE垂直平分AD

∴AE=DE

∵

∴是等邊三角形.