Question

【題目】圖形變換中的數學，問題情境：在課堂上，興趣學習小組對一道數學問題進行了深入探究，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，點D是AB的中點，連接CD．

（1）探索發現：
如圖①，BC與BD的數量關系是；
（2）猜想驗證：
如圖②，若P是線段CB上一動點（點P不與點B，C重合），連接DP，將線段DP繞點D逆時針旋轉60°，得到線段DF，連接BF，請猜想BF，BP，BD三者之間的數量關系，并證明你的結論；
（3）拓展延伸：
若點P是線段CB延長線上一動點，按照（2）中的作法，請在圖③中補全圖象，并直接寫出BF、BP、BD三者之間的數量關系．

Answer 1

【答案】
（1）BC=BD
（2）

解：BF+BP=BD，

理由：∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠CBA=60°，BC= AB，

∵點D是AB的中點，

∴BC=BD，

∴△DBC是等邊三角形，

∴∠CDB=60°，DC=DB，

∵線段DP繞點D逆時針旋轉60°，得到線段DF，

∴∠PDF=60°，DP=DF，

∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB，

∴∠CDP=∠BDF，

在△DCP和△DBF中， ，

∴△DCP≌△DBF，

∴CP=BF，

∵CP+BP=BC，

∴BF+BP=BC，

∵BC=BD，

∴BF+BP=BD

（3）

解：如圖③，

關系：BF=BD+BP，

理由：∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠CBA=60°，BC= AB，

∵點D是AB的中點，

∴BC=BD，

∴△DBC是等邊三角形，

∴∠CDB=60°，DC=DB，

∵線段DP繞點D逆時針旋轉60°，得到線段DF，

∴∠PDF=60°，DP=DF，

∴∠CDB+∠PDB=∠PDF+∠PDB，

∴∠CDP=∠BDF，

在△DCP和△DBF中， ，

∴△DCP≌△DBF，

∴CP=BF，

∵CP=BC+BP，

∴BF=BC+BP，

∵BC=BD，

∴BF=BD+BP．

【解析】解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠CBA=60°，BC= AB，
∵點D是AB的中點，
∴BC=BD，
所以答案是：BC=BD；