Question

【題目】拋物線C：y=x2+bx+c 交 軸于點A（0，-1）且過點 ， P是拋物線C上一個動點，過P作PB∥OA，以P為圓心，2為半徑的圓交PB于C、D兩點（點D位于點C下方）．

（1）求拋物線C的解析式；
（2）連接AP交⊙P于點E，連接DE，AC．若ΔACP是以CP為直角邊的直角三角形，求∠EDC的度數；
（3）若當點P經過拋物線C上所有的點后，點D隨之經過的路線被直線 截得的線段長為8，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（0，-1）， （4，-1）在y=x2 + bx+c上，
∴，
∴，
∴拋物線C的解析式為：y=x2-2x-1.

（2）解：由（1）知拋物線C的解析式為：y=x2-2x-1.
①若∠ACP=90°，即AC⊥BD，
∵A（0，-1），
則設C（x，-1），
又∵⊙P半徑為2，
∴P（x，-3），D（x，-5 ），
又∵P在拋物線C上，
∴x2-2x-1=-3.，
∴x=2，
∴P（2，-3），
∴CA=CP，
∴∠APC=45°，
又∵∠APC=∠EDC+∠PED，PE=PD，
∴∠EDC=22.5°，
②若∠APC=90°，即AP⊥BD，
∵A（0，-1），PE=PD，
∴△EPD為直角三角形，
∴∠EDC=45°.

（3）解：依題可知：把 y=x22x1 向下平移2個單位后得 y=x22x3 ，
∵對稱軸為直線 x=2 ，
由已知條件得：x1=-2，x2 =6，
∴把 x=6 代入 y=x22x3 ，
∴y=3，
即 a=3 .

【解析】（1）由已知條件得出一個二元一次方程組，解之 即可求出，從而得出拋物線C的解析式為：y=x2-2x-1.
（2）由（1）知拋物線C的解析式為：y=x2-2x-1.分兩種情況討論：
① 若∠ACP=90°，即AC⊥BD，由A（0，-1），則設C（x，-1），從而得P（x，-3），D（x，-5 ），又由P在拋物線C上，得出x=2，從而得出P（2，-3），即CA=CP，根據等腰三角形的性質得出∠APC=45°，又由三角形的外角知∠APC=∠EDC+∠PED，PE=PD，從而得出∠EDC=22.5°；
②若∠APC=90°，即AP⊥BD，由A（0，-1），PE=PD，從而得出△EPD為直角三角形，即∠EDC=45°.
（3）依題可知：把 y=x22x1 向下平移2個單位后得 y=x22x3 ， 由拋物線對稱軸為直線 x=2 ，從而得出x1=-2，x2 =6，把 x=6 代入 y=x22x3 即可求出a.
【考點精析】關于本題考查的等腰直角三角形，需要了解等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°才能得出正確答案．