Question

【題目】如圖1，AB∥CD，點E，F分別在直線CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，過點A作AG⊥BE的延長線交于點G，交CD于點N，AK平分∠BAG，交EF于點H，交BE于點M．

（1）直接寫出∠AHE，∠FAH，∠KEH之間的關系：________；

（2）若∠BEF＝∠BAK，求∠AHE；

（3）如圖2，在（2）的條件下，將△KHE繞著點E以每秒5°的速度逆時針旋轉，旋轉時間為t，當KE邊與射線ED重合時停止，則在旋轉過程中，當△KHE的其中一邊與△ENG的某一邊平行時，直接寫出此時t的值．

Answer 1

【答案】（1）∠AHE=∠KEH+∠FAH；（2）75°；（3）t=6、12、21、24、30．

【解析】

（1）根據平行線的性質和三角形的外角性質可得答案；
（2）設∠BEF=x，用x分別表示出∠BAK、∠BEC、∠BAK、∠KAG、∠AME和∠AHE，再由AG⊥BE，得關于x的方程，解得x的值，則問題可解；
（3）由（2）可得，∠KHE=105°，再分4種情況列方程求解即可：①當KH∥EN時；②當kE∥GN時；③當HE∥GN時；④當HK∥GN時．

解：（1）∵AB∥CD
∴∠KEH=∠AFH
∵∠AHE=∠AFH+∠FAH
∴∠AHE=∠KEH+∠FAH
故答案為： ∠AHE=∠KEH+∠FAH
（2）設∠BEF=x
∵∠BEF= ∠BAK，∠BEC=2∠BEF
∴∠BAK=∠BEC=2x
∵AK平分∠BAG
∴∠BAK=∠KAG=2x
由（1）的結論可得：∠AME=2x+2x=4x，∠AHE=2x+3x=5x
∵AG⊥BE
∴∠G=90°
∴∠AME+∠KAG=2x+4x=90°
∴x=15°
∴∠AHE=5x=75°；
（3）由（2）可得，∠KHE=105°，∠BEF=15°，∠HEK=45°，∠NEG=30°，∠ENG=60°
①當KH∥NG時
5°×t=60°-30°=30°
∴t=6
②當KE∥GN時
5°×t=60°
∴t=12
③當HE∥GN時
5°×t=45°+60°=105°
∴t=21
④當HK∥EG時，
5°×t=180°-30°-30°=120°
∴t=24
⑤當HK∥EN時，5t=150°
∴t=30
綜上所述，t的值為：6或12或21或24或30．