Question

【題目】如圖，直線與x軸交于點A，與y軸交于B，點P是x軸上的一個動點.
（1）求A、B兩點的坐標；

（2）當點P在x軸正半軸上，且△APB的面積為8時，求直線PB的解析式；

（3）點Q在第二象限，是否存在以A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B(0,4),A（﹣3，0）；（2）y=﹣x+4；（3）（﹣5，4）或（﹣，4）

【解析】

（1）根據坐標軸上點的特點即可得出結論；
（2）設出點P坐標，利用△PAB的面積建立方程求出P的坐標，最后用待定系數法求解即可；
（3）先判斷出點Q在直線y=4上，再分兩種情況討論計算即可．

（1）令x=0時，y=4， ∴B（0，4），

令y=0時， x+4=0，

∴x=﹣3，

∴A（﹣3，0）；

（2）設點P（m，0）（m＞0）， ∵A（﹣3，0），

∴AP=m﹣（﹣3）=m+3，

∵△APB的面積為8，

∴S△APB= AP×OB= （m+3）×4=8，

∴m=1，

∴P（1，0），

∵B（0，4），

∴設直線PB的解析式為y=kx+4，

∴k+4=0，

∴k=﹣4，

∴直線PB的解析式為y=﹣x+4；

（3）如圖，

∵以A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形，且P在x軸上，

∴BQ∥AP，

∴點Q在直線y=4上，

由（1）知，A（﹣3，0），B（0，4），

∴AB=5，

∵點Q在第二象限內，

∴①當AB為菱形的邊時，

∴BQ'=AB=5，

∴Q'（﹣5，4），

②當AB為菱形的對角線時，AB，PQ互相垂直平分，

∵直線AB的解析式為y= x+4，

∴直線PQ的解析式為y=﹣ x+ ，

當y=4時，則﹣ x+ =4，

∴x=﹣ ，

∴Q（﹣ ，4），

∴滿足條件的點Q的坐標為（﹣5，4）或（﹣ ，4）．