Question

【題目】如圖，矩形ABCD位于平面直角坐標系中，A、B在y軸上，且其坐標分別為A（0，a）和B（0，-b），D點坐標為（-c，a)，CD與x軸交于E. 其中a、b、c均為正數，且滿足.

（1）請判斷△ABD的形狀并說明理由.

（2）如圖，將圖形沿AM折疊，使D落在x軸上F點，若現有一長度為a的線段，可與線段EF、OF構成直角三角形，求a的值.

（3）若P為x軸正半軸上一點，且滿足∠APB=45°，請求出P點坐標.

Answer 1

【答案】（1）△ABD為等腰直角三角形（2）或（3）（6，0）

【解析】

（1）根據平方、絕對值、算術平方根的非負性分別計算出a、b、c，從而可求出AB=AD，再根據矩形的性質即可判斷△ABD為等腰直角三角形；

（2）根據勾股定理先計算出EF和OF的長，然后根據構成直角三角形的條件由勾股定理可計算出a；

（3）在y軸上截取OM=ON=OP，易得△MOP、△NOP與△MNP均為等腰直角三角形，設MA=x，根據等腰三角形的性質和全等三角形的判定和性質證明三角形BNQ為直角三角形，在直角三角形中運用勾股定理解出x，從而求出點P的坐標.

（1）由得

a-3=0，b-2=0，c-a-b=0，解得a=3，b=2，c=5，

則由題意知OA=3，OB=2，AD=5，

所以AB=OA+OB=5=AD，

由于ABCD為矩形，則AB⊥AD，所以△ABD為等腰直角三角形；

（2）由題意知，DE=OA=3，AF=AD=5

設OF=x，在△AOF中，，即

解得x=4，即OF=4，EF=OE-OF=1

若長度為a的線段可與線段EF、OF構成直角三角形，則由勾股定理得

或

解得或；

（3）如圖：

在y軸上截取OM=ON=OP，易得△MOP、△NOP與△MNP均為等腰直角三角形，

設MA=x，則BN=x+1，OP=OM=x+3

將△PMA逆時針旋轉90°，使PM與NP重合，A落在點Q處，

∴∠APQ=90°，

則△PNQ≌△PMA，PQ=PA,NQ=AM，

∵∠APQ=90°，∠APB=45°，

∴∠APB=∠BPQ=45°,

又∵PA=PQ,PB=PB，

∴△PBQ≌△PBA ,

∴BQ=AB=5,

∵∠PMA=∠PNQ=45°，

∴∠BNQ=∠PNB+∠PNQ=90°,

∴三角形BNQ為直角三角形，

則

即，解得

x=3（x=-4舍），則OP=x+3=6

所以P點坐標為（6，0）.