Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且邊長為a的菱形，側面PAD為正三角形，其所在平面垂直底面ABCD.

(1)若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；
(2)求證：AD⊥PB；
(3)若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結論．

Answer 1

（1）見解析   （2）見解析
（3）當F為PC的中點時，滿足平面DEF⊥平面ABCD.見解析

(1)證明：∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
G為AD的中點，得BG⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.
(2)證明：連結PG，因為△PAD為正三角形，G為AD的中點，得PG⊥AD.
由(1)知BG⊥AD，
∵PG∩BG＝G，PG?平面PGB，BG?平面PGB
∴AD⊥平面PGB.
∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB.
(3)解：當F為PC的中點時，滿足平面DEF⊥平面ABCD.
證明如下：取PC的中點F，連結DE，EF，DF，則在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE?平面DEF，DE?平面DEF，FE∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB.
由(2)可知，PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.