Question

圖是一種新型吊運設備的簡化模型示意圖，圖中虛線框里是滑輪組（未畫出），滑輪組繩子的自由端由電動機拉動。工人師傅用該吊運設備先后搬運水平地面上的圓柱形物體A和物體B。物體A的底面積為S_A，密度為ρ_A，高度為h_A；物體B的底面積為S_B，密度為ρ_B，高度為h_B。當物體A所受豎直向上的拉力T₁為1500N時，物體A靜止，地面對物體A的支持力為N₁。掛在滑輪組掛鉤上的物體A勻速豎直上升4m的過程中，電動機對滑輪組繩子自由端的拉力為F₁，拉力F₁做的功為W。當物體B所受豎直向上的拉力T₂為1000N時，物體B靜止，地面對物體B的支持力為N₂。掛在滑輪組掛鉤上的物體B以速度v勻速豎直上升的過程中，電動機對滑輪組繩子自由端的拉力F₂為625N，拉力F₂做功的功率P為500W，滑輪組的機械效率為80%。已知：N₁=2N₂，5S_A=4S_B，8ρ_A=7ρ_B，2h_A=5h_B。不計繩的質量，不計滑輪與軸的摩擦。求：

（1）物體B勻速上升的速度v；
（2）拉力F₁做的功W。

Answer 1

（1）0.2m/s（2）1.6×10⁴J

（1）當物體A受拉力為T₁時，以物體A為研究對象，受力分析，如圖甲所示；當物體B受拉力為T₂時，以物體B為研究對象，受力分析如圖乙所示。 

由圖甲、乙得：G_A= T₁ + N₁，G_B= T₂ + N₂。
已知：N₁=2N₂，5S_A=4S_B，8ρ_A=7ρ_B，2h_A=5h_B，T₁=1500N，T₂=1000N，因為G=mg=ρVg=ρgSh，
所以G_A=ρ_AgS_Ah_A，G_B=ρ_BgS_Bh_B，解得：G_A=3500N，G_B=2000N。   
設滑輪組的繩子段數為n，提升物體B時，機械效率η =。
已知：F₂=625N，η =80%，解得：n =4；                         
拉力F₂做功的功率P== nvF₂，已知：P=500W，解得：v =0.2m/s。 
（2）勻速提升物體A時，以物體A和動滑輪的整體為研究對象，受力分析如圖甲所示。勻速提升物體B時，以物體B和動滑輪的整體為研究對象，受力分析如圖乙所示。

由圖乙得：4F₂= G_B+G_動，解得：G_動=4×625N―2000N=500N；
由圖甲得：4F₁=G_A+G_動，解得：F₁==1000N；
拉力F₁做的功W= nF₁h，已知：h=4m，解得：W= 4×1000N×4m=1.6×10⁴J。