Question

【題目】如圖，在以為頂點的多面體中， 平面， 平面， ．

（1）請在圖中作出平面，使得，且，并說明理由；

（2）求直線和平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）取BC的中點P，連接EP，DP，證明平面ABF∥平面EDP，可得結論；（2）建立如圖所示的坐標系，求出平面BCE的法向量，利用向量方法求直線EF與平面BCE所成角的正弦值．

試題解析：（1）如圖，取中點，連接，則平面即為所求的平面.

顯然，以下只需證明平面；

∵，

∴且，

∴四邊形為平行四邊形，

∴.

又平面， 平面，

∴平面.

∵平面， 平面，

∴.

又平面， 平面，

∴平面，

又平面平面，

∴平面平面.

又平面，

∴平面，即平面.

（2）

過點作并交于，

∵平面，

∴，即兩兩垂直，

以為原點，以所在直線分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標系.在等腰梯形中，∵，

∴，

則.

∵，∴，

∴.

設平面的法向量，

由，得，

取，可得平面的一個法向量.

設直線和平面所成角為，

又∵，

∴，

故直線和平面所成角的正弦值為.