Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，點F是BC延長線上一點，以CF為邊，作菱形CDEF，使菱形CDEF與點A在BC的同側，連接BE，點G是BE的中點，連接AG、DG．

（1）如圖①，當∠BAC=∠DCF=90°時，直接寫出AG與DG的位置和數量關系；

（2）如圖②，當∠BAC=∠DCF=60°時，試探究AG與DG的位置和數量關系，

（3）當∠BAC=∠DCF=α時，直接寫出AG與DG的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）AG⊥DG，AG=DG；（2）AG⊥GD，AG=DG；（3）DG=AGtan．

【解析】

試題分析：（1）延長DG與BC交于H，連接AH、AD，先證△BGH≌△EGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，再證△ABH≌△ACD，得出∠BAH=∠CAD，AH=AD，進而求得∠HAD=90°，即可求得AG⊥GD，AG=GD；

（2）延長DG與BC交于H，連接AH、AD，先證△BGH≌△EGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，再證△ABH≌△ACD，得出∠BAH=∠CAD，AH=AD，進而求得△HAD是等邊三角形，即可證得AG⊥GD，AG=DG；

（3）延長DG與BC交于H，連接AH、AD，先證△BGH≌△EGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，再證△ABH≌△ACD，得出∠BAH=∠CAD，AH=AD，進而求得△HAD是等腰三角形，即可證得DG=AGtan．

試題解析：（1）AG⊥DG，AG=DG，證明如下：延長DG與BC交于H，連接AH、AD，∵四邊形DCEF是正方形，∴DE=DC，DE∥CF，∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，∵G是BC的中點，∴BG=EG，在△BGH和△EGD中，∵∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，BG=EG，∴△BGH≌△EGD（AAS），∴BH=ED，HG=DG，∴BH=DC，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DCF=90°，∴∠DCB=90°，∴∠ACD=45°，∴∠ABH=∠ACD=45°，在△ABH和△ACD中，∵AB=AC，∠ABH=∠ACD，BH=CD，∴△ABH≌△ACD（SAS），∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，∵∠BAH+∠HAC=90°，∴∠CAD+∠HAC=90°，即∠HAD=90°，∴AG⊥GD，AG=GD；

（2）AG⊥GD，AG=DG；證明如下：延長DG與BC交于H，連接AH、AD，∵四邊形DCEF是正方形，∴DE=DC，DE∥CF，∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，∵G是BC的中點，∴BG=EG，在△BGH和△EGD中，∵∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，BG=EG，∴△BGH≌△EGD（AAS），∴BH=ED，HG=DG，∴BH=DC，∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=60，∴∠ABC=60°，∠ACD=60°，∴∠ABC=∠ACD=60°，在△ABH和△ACD中，∵AB=AC，∠ABH=∠ACD，BH=CD，∴△ABH≌△ACD（SAS），∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，∴∠BAC=∠HAD=60°，∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=30°，∴tan∠DAG=tan30°=，∴AG=DG；

（3）DG=AGtan；證明如下：延長DG與BC交于H，連接AH、AD，∵四邊形DCEF是正方形，∴DE=DC，DE∥CF，∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，∵G是BC的中點，∴BG=EG，在△BGH和△EGD中，∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，BG=EG，∴△BGH≌△EGD（AAS），∴BH=ED，HG=DG，∴BH=DC，∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=α，∴∠ABC=90°﹣，∠ACD=90°﹣，∴∠ABC=∠ACD，在△ABH和△ACD中，AB=AC，∠ABH=∠ACD，BH=CD，∴△ABH≌△ACD（SAS），∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，∴∠BAC=∠HAD=α；∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=，∴tan∠DAG=tan=，∴DG=AGtan．