Question

（2012•綿陽三模）對于定義在區間D上的函數f（X），若存在閉區間[a，b]?D和常數c，．使得對任意x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c，且對任意x₂∈D，當x₂∉[a，b]時，f（x₂）＜c恒成立，則稱函數f（X）為區間D上的“平頂型”函數．給出下列說法：
①“平頂型”函數在定義域內有最大值；
②“平頂型”函數在定義域內一定沒有最小值；
③函數f（x）=-|x+2|-|x-1|為R上的“平頂型”函數；
④函數f（x）=sinx-|sinx|為R上的“平頂型”函數．
則以上說法中正確的是

①③

．（填上你認為正確結論的序號）

Answer 1

分析：根據題意，“平頂型”函數在定義域內某個子集區間內函數值為常數c，且這個常數是函數的最大值，但是定義并沒有指出函數最小值的情況．由此定義再結合絕對值的性質和正弦函數的圖象與性質，對于四個選項逐個加以判斷，即得正確答案．

解答：解：對于①，根據題意，“平頂型”函數在定義域內某個子集區間內函數值為常數c，且這個常數是函數的最大值，故①正確；
對于②，根據“平頂型”函數的定義，沒有指明不存在常數c'，使定義域內任意x₀，滿足f（x₀）≥c'，故平頂型”函數在定義域內不一定沒有最小值，故②不正確；
對于③，f（x）=-|x+2|-|x-1|≤-|（x+2）+（x-1）|=-3，當且僅當x∈[-2，1]時，函數的最大值為-3，符合“平頂型”函數的定義，故③正確；
對于④，函數f（x）=sinx-|sinx|=

2sinx      x∈(-π+2kπ，2kπ) 0              x∈(2kπ，π+2kπ)

，k為整數
所以函數有最小值0，最大值2，但是不存在區間[a，b]，對任意x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=2，所以f（x）不是“平頂型”函數，故④不正確．
故答案為：①③

點評：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了函數的最值及其幾何意義、帶絕對值的函數和正弦函數的定義域值域等知識點，屬于中檔題．