Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD是等邊三角形，AB∥CD，AB=2CD，BC⊥CD，∠DBC=30°，點E，F分別為AD，PB的中點．
（1）求證：CF∥平面PAD；
（2）求證：平面PEB⊥平面ABCD．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）取PA中點G，連結FG，DG，由已知得四邊形CDGF是平行四邊行，由此能證明CF∥平面PAD．
（2）由已知得三角形ABD也是等邊三角形，PE⊥AD，BE⊥AD，由此能證明平面ABCD⊥平面PEB．

解答： 證明：（1）取PA中點G，連結FG，DG，
因為F分別為AD、PB的中點，
所以可得FG∥AB且AB=2FG，
又因為AB∥CD，AB=2CD，
所以FG∥CD，FG=CD
即四邊形CDGF是平行四邊形，
所以CF∥DG，因為DG在平面PAD內
所以CF∥平面PAD．
（2）因為BC⊥CD，∠DBC=30°，
得BD=2CD，∠BDC=60°，
又由于AB∥CD，可得∠DBA=∠BDC=60°
又由于AB=2CD，可得AB=BD，
所以三角形ABD也是等邊三角形．
因為E為AD的中點，所以有PE⊥AD，BE⊥AD，
即有AD⊥平面PEB
所以平面ABCD⊥平面PEB．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時要注意空間思維能力的培養．