Question

設F為雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點，過點F且斜率為-1的直線l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若

AB

=-3

AF

，則雙曲線C的離心率e=（　　）

• A、

  10

  3

• B、

  5

  2

• C、

  5

• D、

  34

  3

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設出過焦點的直線方程，與雙曲線的漸近線方程聯立把A，B表示出來，再由

AB

=-3

AF

，求出a，b，c，然后求雙曲線的離心率．

解答： 解：設F（c，0），則過雙曲線：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點F
作斜率為-1的直線為：y=-（x-c），
而漸近線的方程是：y=±

b

a

x，
由

y=c-x y=- b a x

得：B（

ac

a-b

，-

bc

a-b

），
由

y=c-x y= b a x

得，A（

ac

a+b

，

bc

a+b

），

AB

=（

2abc

a2-b2

，-

2abc

a2-b2

），

AF

=（

bc

a+b

，-

bc

a+b

），
由

AB

=-3

AF

，則

2abc

a2-b2

=-3•

bc

a+b

，
即有b=

5

3

a，則c=

a2+b2

=

34

3

a，
則e=

c

a

=

34

3

．
故選D．

點評：本題考查雙曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意向量共線的合理運用．