Question

某校舉行12•9愛國知識競賽，競賽規則是：每位選手有兩種方式可供選擇：方式一：回答三個關于12•9的歷史知識試題；方式二：回答兩個社會主義核心價值觀的綜合試題．方式一答對一個得3分，答錯得0分；方式二答對一個得2分，答錯得0分．已知小李在兩種方式中答對每題的概率分別是

1

4

和p（0＜p＜1）．
（1）若小李選擇方式一，求小李至少得3分的概率；
（2）若將兩種方式得分的數學期望高者作為選擇的標準，如果小李最終選擇了方式二，求p的取值范圍．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：概率與統計

分析：（1）小李選擇方式一，小李至少得3分是指小李至少答對一個題，由此能求出小李至少得3分的概率．
（2）小李選擇方式一，答對題的個數X～B（3，

1

4

），得分ξ的可能取值為0，3，6，9，由此能求出Eξ=

19

8

，小李選擇方式二，答對題的個數Y～B（2，p），得分η的可能取值為0，2，4，由此能求出Eη=4p，由此能求出p的取值范圍．

解答： 解：（1）小李選擇方式一，小李至少得3分是指小李至少答對一個題，
∴小李至少得3分的概率：
P=1-（1-

1

4

）（1-

1

4

）（1-

1

4

）=

37

64

．
（2）小李選擇方式一，答對題的個數X～B（3，

1

4

），
得分ξ的可能取值為0，3，6，9，
P（ξ=0）=P（X=0）=

C

0 3

(

3

4

)3=

27

64

，
P（ξ=3）=P（X=1）=

C

1 3

(

1

4

)(

3

4

)2=

27

64

，
P（ξ=6）=P（X=2）=

C

2 3

(

1

4

)2(

3

4

)=

9

64

，
P（ξ=9）=P（X=3）=

C

3 3

(

1

4

)3=

1

64

，
∴方式一得分的數學期望Eξ=0×

27

64

+3×

27

64

+6×

9

64

+9×

1

64

=

19

8

，
小李選擇方式一，答對題的個數Y～B（2，p），
得分η的可能取值為0，2，4，
P（η=0）=P（Y=0）=

C

0 2

（1-p）²=（1-p）²，
P（η=2）=P（Y=1）=

C

1 2

p(1-p)=2p(1-p)，
P（η=4）=P（Y=2）=

C

2 2

p2=p²，
∴方式二得分的數學期望Eη=0×（1-p）²+2×2p（1-p）+4p²=4p，
∵將兩種方式得分的數學期望高者作為選擇的標準，小李最終選擇了方式二，
∴4p＞

19

8

，解得p＞

19

32

，又0≤p≤1，
∴p的取值范圍是（

19

32

，1]．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．