Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0時，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）證明函數a=1在f（x）=-x²+x+lnx上是增函數；
（2）解不等式：f（

1

x-1

）＞0，x∈（0，+∞）；
（3）若f′(x)=-2x+1+

1

x

=-

2x2-x-1

x

對所有f'（x）=0，任意x=-

1

2

恒成立，求實數x=1的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）任取x₁、x₂兩數使x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，進而根據函數為奇函數推知f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂），讓f（x₁）+f（-x₂）除以x₁-x₂再乘以x₁-x₂配出

f(a)+f(b)

a+b

的形式，進而判斷出f（x₁）-f（x₂）與0的關系，進而證明出函數的單調性．
（2）根據函數f（x）在[-1，1]上是增函數知：

-1≤ 1 x-1 ≤1 0＜ 1 x-1

進而可解得x的范圍．
（3）由（1）f（x）≤m²-2pm+1對任意x∈[-1，1]恒成立，只需1≤m²-2pm+1對p∈[-1，1]恒成立，即m²-2pm≥0對p∈[-1，1]恒成立設g（p）=m²-2mp，則

g(-1)≥0 g(1)≥0

?

m2+2m≥0 m2-2m≥0

解之即得m的取值范圍．

解答：解：（1）設-1≤x₁＜x₂≤1
∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）．
又x₁＜x₂，∴x₂+（-x₁）=x₂-x₁＞0，由題設有

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

＞0，
∴f（x₂）+f（-x₁）＞0即f（x₂）＞f（x₁）∴f（x）在[-1，1]上是增函數
（2）由（1）知：f(

1

x-1

)＞0?f(0)＜f(

1

x-1

)
?

-1≤ 1 x-1 ≤1 0＜ 1 x-1

?x＞1
∴原不等式的解集為x＞1．
（3）由（1）知f（x）≤m²-2pm+1對任意x∈[-1，1]恒成立
只需1≤m²-2pm+1對p∈[-1，1]恒成立，即m²-2pm≥0對p∈[-1，1]恒成立設g（p）=m²-2mp，則

g(-1)≥0 g(1)≥0

?

m2+2m≥0 m2-2m≥0

解得m≤-2或m≥2或m=0
∴m的取值范圍是（-∞，-2]∪[2，+∞）∪{0}．

點評：本題主要考查函數的單調性和奇偶性的綜合運用、函數恒成立問題．在解題時要利用好單調性和奇偶性的定義．