Question

【題目】已知球內(nèi)接四棱錐的高為相交于，球的表面積為，若為中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：

(1)由題意可得，利用線面平行的判斷定理可得結(jié)論；

(2)結(jié)合題中的幾何關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合平面的法向量可得二面角的余弦值為.

試題解析：

解：（1）證明：由分別是的中點(diǎn)，得，

且滿足平面平面，所以平面.

（2）由球的表面積公式，得球的半徑，

設(shè)球心為，在正四棱錐中，高為，則必在上，

連，則，

則在，則，即,

在正四棱錐中， 平面于，且于，

設(shè)為軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系系，

得中點(diǎn)，

所以，

設(shè)分別是平面和平面的法向量，

則 和，

可得，則，

由圖可知，二面角的大小為鈍角，

所以二面角的余弦值為.