Question

【題目】設(shè)拋物線的對(duì)稱軸是軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線與拋物線交于、兩點(diǎn)（和都不與重合），且，求證：直線過(guò)定點(diǎn)并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；直線恒過(guò)點(diǎn).

【解析】

（1）設(shè),將點(diǎn)代入方程求解即可；

（2）當(dāng)時(shí)顯然不成立；當(dāng)時(shí)聯(lián)立直線方程與拋物線方程,利用韋達(dá)定理得到及的關(guān)系,由可得,代入即可得到與的關(guān)系,進(jìn)而得到定點(diǎn)；當(dāng)不存在時(shí),聯(lián)立直線方程與拋物線方程,同理運(yùn)算即可

解：（1）因?yàn)閽佄锞�的對(duì)稱軸是軸,設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,

因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過(guò)點(diǎn)所以,所以,

所以設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）證明：當(dāng)直線的斜率存在且時(shí),顯然直線與拋物線至多只有一個(gè)交點(diǎn),不符合題意；

當(dāng)直線的斜率存在且時(shí),設(shè)直線的方程為,

聯(lián)立,消去,得①；

消去,得②；

設(shè),則為方程①的兩根,為方程②的兩根,

,

因?yàn)?/span>,所以,

因?yàn)?/span>,所以,

即,

所以,即,

所以直線的方程可化為,

當(dāng)時(shí),無(wú)論取何值時(shí),都有,所以直線恒過(guò)點(diǎn),

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè)直線的方程為,

把與聯(lián)立得,

則,

因?yàn)?/span>,

所以,即,得,

所以直線的方程為,

所以直線過(guò)點(diǎn),

綜上,無(wú)論直線的斜率存在還是不存在,直線恒過(guò)點(diǎn).